Cvasigrup (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 aprilie 2020; verificările necesită 9 modificări .

Un cvasi -grup este o magmă în care fisiunea este întotdeauna posibilă . Spre deosebire de un grup , un cvasigrup nu trebuie să fie asociativ [1] . Orice cvasigrup asociativ este un grup.

Definiții și proprietăți

Un cvasigrup este o pereche ( Q , *) dintr-o mulțime nevidă Q cu o operație binară * : Q × Q → Q care îndeplinește următoarea condiție: pentru orice elemente a și b din Q există elemente unice x și y din Q astfel încât

a * x = b
y * a = b

Soluțiile acestor ecuații sunt uneori scrise după cum urmează:

x = a \ b
y = b / a

Operaţiile \ şi / se numesc diviziune la stânga şi diviziune la dreapta .

Un cvasigrup cu o unitate se mai numește și buclă (din bucla engleză - o buclă).

Dacă se poate stabili o bijecție între elementele a două cvasigrupuri Q și R (adică sunt echivalente ca mulțimi), se spune că Q și R au aceeași ordine. Dacă, în plus, există permutări A, B, C care acționează asupra elementelor acestor cvasigrupuri astfel încât

( x , y ) = [ x A, y B]C

(aici (,) și [ , ] sunt operații în Q și respectiv R ), atunci astfel de cvasigrupuri se numesc izotopice .

Pentru orice cvasigrup există o buclă cu care este izotopică. Dacă o buclă este izotopică pentru un grup, atunci această buclă este un grup. Într-un caz mai general: dacă un semigrup este izotopic pentru o buclă, atunci ele sunt izomorfe și ambele sunt izomorfe pentru un grup. Izotopie , în unele[ ce? ] sens, este echivalent cu izomorfismul de grup, dar există cvasigrupuri care sunt izotopice, dar nu izomorfe cu grupuri.

Orice pătrat latin este tabelul înmulțirii ( tabelul Cayley ) al cvasigrupului.

Un cvasigrup se numește complet antisimetric dacă sunt îndeplinite încă două proprietăți [2] :

dacă pentru unele a și b din cvasigrup s-a dovedit că a * b = b * a , atunci a = b ;
dacă pentru unele a , b și c din cvasigrup rezultă că ( a * b ) * c = ( a * c ) * b , atunci b = c .

În 2004, M. Damm a prezentat exemple de cvasigrupuri complet antisimetrice, ceea ce a fost o realizare matematică semnificativă a secolului XXI [2] .

Cvasigrupurile complet antisimetrice (cvasigrupurile Damm) sunt utilizate în codurile de recunoaștere a erorilor ( algoritmul lui Damm ) [2] .

Exemple

Orice grup este, de asemenea, un cvasigrup, deoarece a * x = b x = a −1 * b , y * a = b y = b * a −1 . $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$
Numerele întregi ( ) cu operația de scădere (−) sunt un cvasigrup. $\mathbb {Z}$
Numerele raționale diferite de zero (sau numerele reale - ) cu operația de împărțire (÷) sunt un cvasigrup. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
Mulțimea {±1, ±i, ±j, ±k}, unde ii = jj = kk = +1 și toate celelalte produse sunt definite în același mod ca în cuaternioni , este un cvasigrup cu identitate (bucla).
Orice spațiu vectorial peste câmpul numerelor reale în raport cu operația x * y = ( x + y ) / 2 formează structura unui cvasigrup comutativ idempotent .

Note

↑ L. V. Sabinin, „ Spații omogene și cvasigrupuri”, Izv . universități. Mat., 1996, Nr. 7, 77-84
↑ 1 2 3 Dmitri Maksimov. Coduri care recunosc o eroare // Știință și viață . - 2018. - Nr. 1 . - S. 90-95 . (Rusă)

Literatură

Belousov V. D. „Fundamentals of theory of quasigroups and loops” Copie de arhivă din 30 iulie 2016 la Wayback Machine - M . : Nauka, 1967. - 224 p.
Sabinin LV Quasigrupuri și bucle netede (link indisponibil) - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. - 257p
Sabinin L.V. Cvasigrupuri analitice și geometrie - M.: UDN, 1991. - 112p.
Sabinin L. V., Mikheev P. O. Teoria buclelor netede Bol. - M .: Editura UDN, 1985. - 81s.
„Cvasigrupuri și bucle” (Numărul 51). Valutse II (ed.) şi alţii.Culegere de lucrări ştiinţifice. Chișinău: Shtiintsa, 1979. - 168s.
Belousov V.D.Rețele analitice și cvasigrupuri - Chișinău: Shtiintsa, 1971. - 168p.
Mikheev P. O., Sabinin L. V. Smooth quasigroups and geometry Arhivat 14 iunie 2013 la Wayback Machine . Rezultatele științei și tehnologiei. Ser. Probl. geom., Volumul 20. - M.: VINITI, 1988. 75-110.]
Kurosh A.G. Algebră generală . Prelegeri ale anului universitar 1969-1970 - M .: Nauka, 1974 . - 160 de ani. Paragrafele 5 și 6.
Galkin VM Quasigroups în colecția de lucrări Algebră, topologie, geometrie. Volumul 26, 1988. Rezultatele științei și tehnologiei. Ser. Algebră, topol., geom. Volumul 26. M.: VINITI, 1988. S. 3-44.