Echivalenţă

Echivalența este raportul a două mulțimi arbitrare ( finite sau infinite ) , ceea ce înseamnă, în mod liber, că o mulțime conține același număr de elemente ca cealaltă. Mulțimile finite sunt echivalente dacă și numai dacă conțin același număr de elemente. De exemplu, setul de constelații zodiacale tradiționale și setul de margini de cub sunt la fel de puternice, deoarece ambele conțin câte 12 elemente fiecare.

Conceptul de echivalență, introdus de Georg Cantor în 1878, extinde această relație la mulțimi infinite, iar pe acesta se bazează definiția conceptului central în teoria mulțimilor a cardinalității unei mulțimi . Cantor a definit, de asemenea, o comparație a cardinalităților - dacă două mulțimi nu sunt echivalente, atunci cardinalitatea uneia dintre ele este mai mare decât cea a celeilalte ( axioma alegerii este folosită în demonstrație ).

Definiții

Definiția 1 . O funcție definită pe o mulțime și luând valori în mulțime se numește corespondență unu-la-unu [1] dacă: $f,$ $A$ $b,$

elemente diferite corespund elementelor diferite $A$ $B;$
fiecare element este atribuit unui element . $B$ $A$

Este ușor de observat că corespondența unu-la-unu ca funcție are o funcție inversă (unu-la-unu) definită pe întregul set $b.$

Definiția 2 . Două mulțimi sunt numite echivalente dacă este posibil să se stabilească o corespondență unu-la-unu între ele [2] . Variații de terminologie: seturile echivalente „au aceeași cardinalitate” sau „același număr cardinal ”.

În corespondența indicată, orice element din fiecare dintre mulțimile echivalente corespunde exact unui element al celuilalt set.

Diferiți autori au propus simboluri diferite pentru a indica echivalența mulțimilor : $A,B$

A\sim B

|A|=|B|

A\aprox B

{\bar {\bar {A}}}={\bar {\bar {B}}}

(notația cantorului)

Eq(A,B)

( notația Bourbaki ) # = #

A

B

\mathrm {card} (A)=\mathrm {card} (B)

În continuare, în acest articol, se folosește prima notație.

Exemple

Mulțimea numerelor naturale și mulțimea numerelor pare sunt echivalente, deoarece fiecare număr natural are o corespondență unu-la-unu cu un număr par.Toate mulțimile care sunt echivalente se numesc numărabile . Orice submulțime infinită este numărabilă - de exemplu, mulțimea numerelor prime . $\mathbb {N}$ $n$ $2n.$ $\N$ $\mathbb {N}$

Mulțimea numerelor raționale este numărabilă, dar mulțimea numerelor reale este deja de nenumărat. $\mathbb {R}$

Toate cercurile sunt egale. Pentru a verifica acest lucru, construim pentru fiecare cerc un sistem de coordonate polare cu originea în centrul cercului și punem în corespondență puncte cu același unghi polar.

Abordarea schițată este adesea folosită pentru a defini conceptul de mulțime infinită „după Dedekind ”: o mulțime se numește infinită dacă este echivalentă cu propria sa submulțime (adică o submulțime care nu coincide cu totul ) [3] . $A$ $A$

Proprietăți

Relația de echivalență este o relație de echivalență :

Fiecare set este echivalent cu el însuși.
Dacă atunci $A\sim B,$ $B\sim A.$
Dacă și atunci $A\sim B$ $B\sim C,$ $A\sim C.$

Prin urmare, relația de echivalență împarte mulțimile în clase care nu se suprapun de mulțimi echipotente. Această partiție a permis lui Cantor să definească conceptul de cardinalitate a unei mulțimi ca una dintre astfel de clase (în teoria axiomatică a mulțimilor, conceptul de cardinalitate este introdus oarecum diferit, vezi articolul despre cardinalitatea unei mulțimi pentru detalii ).

Din teorema lui Cantor rezultă că nicio mulțime nu poate fi echivalentă ca mărime cu mulțimea submulțimii sale (care are întotdeauna o putere mai mare) [4] .

Teorema Cantor-Bernstein : dacă din două mulțimi A și B fiecare este echivalentă cu o parte a celeilalte, atunci aceste două mulțimi sunt echivalente.

În 1877, Cantor a descoperit o serie de consecințe neobișnuite ale teoriei sale [5] .

Un segment finit al unei linii drepte este echipotent față de întreaga linie dreaptă infinită.
Întregul plan, orice pătrat de pe el și un segment de linie sunt echivalente.

Relația de echivalență este în concordanță (cu unele restricții) cu operațiile teoretice [6] .

( produs cartezian ): $A\times B\sim B\times A;\ (A\times B)\times C\sim A\times (B\times C)$
Dacă și atunci $A_{1}\sim B_{1}$ $A_{2}\sim B_{2},$ $(A_{1}\times A_{2})\sim (B_{1}\times B_{2})$
( Unire ) Fie și nu se intersectează cu nu se intersectează cu Atunci $A_{1}\sim B_{1},A_{2}\sim B_{2},$ $A_{1}$ $A_{2},B_{1}$ $B_{2}.$ $(A_{1}\cup A_{2})\sim (B_{1}\cup B_{2})$

Note

↑ Enciclopedia de matematică, 1977 .
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , p. 12.
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , p. 17.
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , p. 28.
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , p. optsprezece.
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , p. 177.

Literatură

Vereshchagin N. K., Shen A. Începuturile teoriei mulțimilor. - M. : MTSNMO, 2012. - ISBN 978-5-4439-0012-4 .
Kudryavtsev L. D. Corespondență unu-la-unu // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1977. - T. 1. - S. 690. - 1152 p.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Teoria seturilor / Tradus din engleză de M. I. Pe scurt, editat de A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 p.
Iașcenko IV Echivalența mulțimilor / Paradoxurile teoriei mulțimilor. M.: Editura Centrului de Educație Matematică Continuă din Moscova, 2002.

Link -uri

Puterea seturilor // Matematică discretă, HSE, Facultatea de Informatică, 2014
Mulțimi echivalente / Introducere în teoria mulțimilor, Universitatea de Stat din Moscova, 2007
Yiannis Moschovakis . CAPITOLUL 2 ECHINUMEROZITATE // Notes on Set Theory, Springer, 2005. ISBN 9780387287225 pp. 7-18 (engleză)