Metoda Monte Carlo cuantică

Metodele cuantice Monte Carlo  sunt o familie mare de metode pentru studierea sistemelor cuantice complexe . Una dintre sarcinile principale este de a oferi o soluție fiabilă (sau o aproximare suficient de precisă) a problemei cuantice cu mai multe corpuri . Diverse versiuni ale acestei metode au o caracteristică comună: folosesc metoda Monte Carlo pentru a calcula integralele multidimensionale care apar în diferite formulări ale problemei cu mai multe corpuri. Metodele cuantice Monte Carlo fac posibilă descrierea efectelor complexe ale multor particule, criptate în funcția de undă , trecând dincolo de teoria câmpului mediu și, în unele cazuri, oferind soluții exacte la problema cu mai multe corpuri. În special, există un algoritm scalabil numeric exact și polinomial pentru studiul exact al proprietăților statice ale unui sistem de bosoni fără frustrare geometrică . Pentru fermioni , nu sunt cunoscuți astfel de algoritmi, dar există algoritmi separați care oferă aproximări foarte bune ale proprietăților lor statice și algoritmi Monte Carlo cuantici separați care sunt precisi numeric, dar scalabili exponențial.

Introducere

În principiu, orice sistem fizic este descris de ecuația Schrödinger pentru multe particule, atâta timp cât particulele nu se mișcă prea repede (adică, astfel încât viteza lor să rămână mică în comparație cu viteza luminii , iar efectele relativiste pot fi neglijate) . Această cerință este îndeplinită pentru o gamă largă de probleme electronice în fizica materiei condensate, în condensatul Bose-Einstein și în superfluide precum heliul lichid. Capacitatea de a rezolva ecuațiile Schrödinger pentru un sistem dat face posibilă prezicerea comportamentului acestuia și are aplicații importante în multe domenii ale științei, de la știința materialelor la sisteme biologice complexe. Dificultatea este că rezolvarea ecuației Schrödinger necesită cunoașterea funcției de undă cu mai multe particule într-un spațiu Hilbert multidimensional , a cărui dimensiune, de regulă, crește exponențial odată cu creșterea numărului de particule.

O soluție pentru un număr mare de particule este practic imposibilă într-o perioadă rezonabilă de timp, chiar și pentru calculul paralel modern . În mod tradițional, sunt utilizate aproximări ale funcțiilor antisimetrice cu mai multe particule compuse din orbitali moleculari cu o singură particule [1] , ceea ce reduce problema rezolvării ecuației Schrödinger la o formă cu care poate fi lucrată. Acest tip de formulare are mai multe dezavantaje. Ele sunt fie limitate la corelații cuantice, cum ar fi metoda Hartree-Fock , fie converg foarte lent, ca în cazul interacțiunilor configuraționale din chimia cuantică .

Metodele Monte Carlo cuantice deschid calea spre studiul direct al problemelor cu mai multe particule și al funcțiilor de undă cu mai multe particule, fără aceste limitări. Cele mai avansate metode cuantice Monte Carlo oferă soluții exacte la problema cu mai multe particule a unui sistem de bozoni fără frustrări, simultan cu o descriere aproximativă, dar de obicei corectă a sistemelor de fermioni cu interacțiune. Majoritatea metodelor urmăresc să găsească funcția de undă a stării fundamentale a sistemului, cu excepția metodelor Monte Carlo pentru integralele de drum și a metodei Monte Carlo pentru temperaturi finite, care sunt utilizate pentru a calcula matricea densității. Pe lângă problemele staționare, este posibil să se rezolve și ecuația Schrödinger dependentă de timp, deși doar aproximativ, limitând forma funcțională a funcției de undă dependentă de timp. Pentru aceasta, a fost dezvoltată o metodă variațională Monte Carlo dependentă de timp. Din punctul de vedere al teoriei probabilităților, calculul valorilor proprii principale și al funcțiilor de undă ale stării fundamentale corespunzătoare se bazează pe soluția numerică a problemei integralelor de-a lungul traiectoriilor Feynman-Kak [2] [3] . Baza matematică a modelului de absorbție a particulelor Feynman-Kak, metoda secvenței Monte Carlo și interpretările câmpului mediu sunt stabilite în [4] [5] [6] [7] [8] .

Există mai multe metode Monte Carlo cuantice, fiecare dintre ele utilizează Monte Carlo pentru a rezolva problema cu mai multe corpuri în moduri diferite.

Metode

Temperatura zero (numai starea fundamentală)

• Metoda variațională Monte Carlo : nu este un punct de plecare rău; utilizat în rezolvarea unei game largi de probleme cuantice diferite.
• Metoda Monte Carlo de difuzie : Cea mai populară metodă de înaltă precizie pentru un sistem de electroni (adică pentru calcule chimice), deoarece converge relativ eficient la valoarea exactă a energiei stării fundamentale. De asemenea, este folosit pentru a reproduce comportamentul cuantic al atomilor și altele asemenea.
• Monte Carlo reptațional : O metodă modernă de calcul la temperatură zero, asociată cu integralele de cale, domeniul de aplicare este același cu metoda Monte Carlo de difuzie, dar ipotezele sunt diferite, astfel încât avantajele și dezavantajele sunt diferite. Reptația este un termen din fizica polimerilor care descrie târâirea serpentină a lanțurilor lungi.
• Metoda Monte Carlo cuantică Gaussiană
• Găsirea stării fundamentale prin integrale de cale : utilizat în principal pentru un sistem de bozoni; pentru cele în care mărimile fizice observabile pot fi calculate exact, adică cu o eroare arbitrar mică.

Temperaturi diferite de zero (termodinamică)

• Câmpul auxiliar Metoda Monte Carlo : aplicată în principal problemelor definite pe o rețea, deși există noi lucrări care aplică această metodă electronilor din sistemele chimice.
• Metoda Monte Carlo cuantică în timp continuu .
• Metoda Monte Carlo cuantică determinantă sau metoda Monte Carlo cuantică Hirsch-Fay
• Metoda Monte Carlo cuantică hibridă
• Metoda Monte Carlo cuantică prin integrale de cale : O tehnică de calcul a temperaturii diferite de zero, care este utilizată în principal pentru sistemele în care efectele temperaturii sunt de mare importanță, în special pentru heliul superfluid.
• Algoritm stocastic pentru funcția lui Green [9] : Un algoritm proiectat pentru bosoni modelează un hamiltonian definit de rețea de orice complexitate, atâta timp cât nu are o problemă de semn.
• Metoda Monte Carlo cuantică a liniilor lumii.

Dinamica în timp real (sisteme cuantice închise)

• Metoda Monte Carlo cuantică variațională dependentă de timp : O extensie a metodei Monte Carlo variațională la dinamica stărilor cuantice pure.

Proiecte și produse software

• ALF
• ALPS Arhivat din original pe 18 mai 2016.
• CASINO Arhivat 8 iunie 2015 la Wayback Machine
• CHAMP Arhivat 6 august 2017 la Wayback Machine
• Monte Python Arhivat pe 25 octombrie 2012 la Wayback Machine
• PIMC++
• pi-qmc Arhivat 14 iulie 2012 la Wayback Machine
• QMcBeaver Arhivat 11 iulie 2017 la Wayback Machine
• QmcMol
• QMCPACK Arhivat pe 28 noiembrie 2019 la Wayback Machine
• Qmax
• Qwalk Arhivat pe 4 februarie 2020 la Wayback Machine
• TurboRVB Arhivat 18 aprilie 2017 la Wayback Machine
• Zori

Link -uri

1. ↑ Forma funcțională a funcției de undă Arhivată 18 iulie 2009 la Wayback Machine
2. ↑ Caffarel, Michel; Claverie, Pierre. Dezvoltarea unei metode Monte Carlo cuantice de difuzie pură folosind o formulă generalizată completă Feynman-Kac. I. Formalism  (engleză)  // Journal of Chemical Physics  : jurnal. - 1988. - Vol. 88 , nr. 2 . - P. 1088-1099 . — ISSN 0021-9606 . - doi : 10.1063/1.454227 . - Cod . Arhivat din original pe 12 iunie 2015. Copie arhivată (link indisponibil) . Consultat la 18 ianuarie 2018. Arhivat din original la 12 iunie 2015. (nedefinit) 
3. ↑ Korzeniowski, A.; Fry, JL; Orr, D.E.; Fazleev, NG Feynman-Kac calea integrală de calcul al energiilor fundamentale ale atomilor  (engleză)  // Physical Review Letters  : jurnal. - 1992. - 10 august ( vol. 69 , nr. 6 ). - P. 893-896 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.69.893 . - Cod .
4. ↑ EUML | Aproximații de particule ale exponenților Lyapunov conectați la operatorii Schrödinger și semigrupurile Feynman–Kac - P. Del Moral, L. Miclo. . eudml.org . Consultat la 11 iunie 2015. Arhivat din original pe 4 februarie 2017. (nedefinit)
5. ↑ Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud. Mișcări ale particulelor în mediu absorbant cu obstacole dure și moi  //  Analiză stocastică și aplicații : jurnal. - 2004. - 1 ianuarie ( vol. 22 , nr. 5 ). - P. 1175-1207 . — ISSN 0736-2994 . - doi : 10.1081/SAP-200026444 .
6. ↑ Del Moral, Pierre. Simularea câmpului mediu pentru integrarea  Monte Carlo . - Chapman & Hall/CRC Press, 2013. - P. 626. . - Monografii despre Statistică și Probabilitate Aplicată.
7. ↑ Del Moral, Pierre. Formula Feynman-Kac.  Aproximații genealogice și de particule care interacționează . - Springer, 2004. - P. 575. . - „Seria: Probabilitate și aplicații”.
8. ↑ Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent. Sisteme de particule de ramificare și interacțiune Aproximări ale formulelor Feynman-Kac cu aplicații la filtrarea neliniară  . - 2000. - Vol. 1729. - P. 1-145. - doi : 10.1007/bfb0103798 .
9. ↑ Rousseau, VG Stochastic Green function algorithm  (engleză)  // Physical Review E  : journal. - 2008. - 20 mai ( vol. 77 ). — P. 056705 . - doi : 10.1103/physreve.77.056705 . - Cod . - arXiv : 0711.3839 .  (link indisponibil)