Covariantă Frobenius

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 24 februarie 2022; verificările necesită 6 modificări .

Covarianțele Frobenius ale unei matrice pătrate A sunt polinoame speciale, și anume proiectoarele A i , asociate cu valorile proprii și vectorii matricei A [1] . Covariantele sunt numite după matematicianul german Ferdinand Georg Frobenius .

Fiecare covariantă este o proiecție pe propriul spațiu asociată cu propria sa valoare . Covarianțele Frobenius sunt coeficienții formulei Sylvester , care exprimă funcția matricei ca un polinom matriceal. $\lambda _{i}$ $fa)$

Definiție formală

Fie A o matrice cu valori proprii diagonalizabile . $\lambda _{1},\dots,\lambda _{k)$

Covarianta Frobenius pentru este matricea $A_{i}$ $i=1,\dots ,k$

A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j))}( A-\lambda _{j}E)~.

În esență, acesta este un polinom Lagrange cu o matrice ca argument. Dacă valoarea proprie este simplă, atunci, ca matrice de proiecție care nu modifică spațiul unidimensional, are o urmă de unitate . $\lambda _{i}$ $A_{i}$

Calculul covarianților

Covarianțele Frobenius ale matricei A pot fi obținute din orice descompunere spectrală a matricei , unde S este nesingular și D este o matrice diagonală cu . Dacă A nu are valori proprii multiple, atunci să fie i --lea vector propriu din dreapta al matricei A , adică coloana i - a matricei S . Fie i - lea vector propriu din stânga al lui A , și anume i -lea rând . Apoi . $A=SDS^{-1}$ $D_{i,i}=\lambda _{i)$ $c_{i}$ $r_{i}$ $S^{{-1}}$ $A_{i}=c_{i}r_{i}$

Dacă A are o valoare proprie multiplă , atunci , unde însumarea este peste toate rândurile și coloanele asociate cu valoarea proprie [2] . $\lambda _{i}$ $A_{i}=\sum _{j}{c_{j}r_{j))$ $\lambda _{i}$