Colaps (geometrie)

Un colaps este un tip de succesiune de spații, de obicei varietăți riemanniene , care modifică semnificativ structura locală (în special își pierde dimensiunea) la trecerea la limită.

Definiție

Există mai multe definiții neechivalente ale colapsului.

Prin raza de umplere

O secvență de varietăți riemanniene închise se prăbușește dacă razele lor de umplere tind spre zero.

Prin pierderea dimensională

Să presupunem că o succesiune de varietăți riemanniene dimensionale are o curbură mărginită mai jos și converge către un spațiu Alexander în sensul Gromov-Hausdorff . Dacă, în acest caz, dimensiunea este strict mai mică decât , atunci se spune că se prăbușește la . $m$ $M_{n}$ $A$ $A$ $m$ $M_{n}$ $A$

Diferența se numește codimensiunea prăbușirii. $m-\dim A$

Exemple

O succesiune de tori plate izometrice la produsul unui cerc de lungime și cercul unitar se prăbușește la cercul unitar. În acest caz, secvența converge către un cerc în sensul Gromov-Hausdorff . $T_{n}$ ${\tfrac {1}{n)}$ $T_{n}$

Proprietăți

Să presupunem că o succesiune de varietati riemanniene dimensionale pur și simplu conectate cu curburi în secțiune se prăbușește cu codimensiona . Apoi admite o acțiune eficientă a torusului -dimensional pentru toate orbitele mari cu diametrul care tinde spre zero. $m$ $M_{n}$ $|K(M_{n})|\leq 1$ $k$ $M_{n}$ $k$ $n$

Vezi și

O varietate aproape plată este o varietate care admite o succesiune de metrici riemanniene de curbură mărginită care se prăbușește într-un punct.

Literatură

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Curs de geometrie metrică. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .