Diferențe finite

Diferența finită este un termen matematic care este utilizat pe scară largă în metodele de calcul pentru interpolare și diferențiere numerică .

Definiție

Să fie specificate nodurile de interpolare cu un pas pentru un anumit punct și valorile funcției la aceste noduri sunt cunoscute: $x_{0}$ $n+1$ $x_{k}=x_{0}+hk,\;k=0,\ldots ,n$ $h=\mathrm {const}$ $f$

f(x_{0})=y_{0},\ldots ,f(x_{n})=y_{n}.

Apoi diferența finală ascendentă (sau diferența directă) de ordinul 1 este diferența dintre valorile -a și -a la nodurile de interpolare, adică [1] $(k+1)$ $k$ $f$

\Delta y_{k}=y_{k+1}-y_{k}=f(x_{k+1})-f(x_{k}),\k=0,\ldots ,n- unu.

Diferența finită descendentă (sau diferența inversă) de ordinul I este diferența dintre valorile -a și -a la nodurile de interpolare, adică [1] $k$ $(k-1)$ $f$

\nabla y_{k}=y_{k}-y_{k-1}=f(x_{k})-f(x_{k-1}),\k=1,\ldots ,n.

Diferența finită centrală (sau simetrică) de ordinul I este diferența dintre valorile -a și -a la nodurile de interpolare, adică [1] $(k+1)$ $(k-1)$ $f$

\delta \,y_{k}=y_{k+1}-y_{k-1}=f(x_{k+1})-f(x_{k-1}),\k=1 ,\ldots ,n-1.

Diferențele de ordine superioare

Diferența finită crescătoare de ordinul 2 este diferența dintre diferențele finite -a și -a de ordinul I, adică $(k+1)$ $k$

\Delta ^{2}y_{k}=\Delta (\Delta y_{k})=\Delta y_{k+1}-\Delta y_{k}=f(x_{k+2}) -2f(x_{k+1})+f(x_{k}),\ k=0,\ldots ,n-2.

În consecință, diferența finită crescătoare a ordinului (pentru ) este diferența dintre diferențele finite -a și -a de ordin , adică [1] $m$ $m\leq n$ $(k+1)$ $k$ $m-1$

\Delta ^{m}y_{k}=\Delta (\Delta ^{m-1}y_{k})=\Delta ^{m-1}y_{k+1}-\Delta ^{ m-1}y_{k},\ k=0,\ldots ,nm.

Diferențele descendente și centrale ale ordinelor superioare sunt definite în mod similar [1] :

\nabla ^{m}y_{k}=\nabla (\nabla ^{m-1}y_{k}),

\delta ^{m}y_{k}=\delta (\delta ^{m-1}y_{k}).

Prin operatori

Dacă introducem un operator de deplasare astfel încât , atunci putem defini un operator de diferență finită ascendent ca . Pentru el, relația $\operatorname {E}$ $\operatorname {E}y_{k}=y_{{k+1}}$ $\Delta$ $\operatorname {E} -1$

\Delta ^{k}=(\operatorname {E}-1)^{k}

care poate fi extins în termeni de binomul lui Newton . Acest mod de reprezentare simplifică considerabil lucrul cu diferențe finite de ordin superior [2] . $\Delta$

Formule generale

Deseori se folosește și o altă notație: este diferența crescătoare de ordine finită a unei funcții cu pasul , luată în punctul . De exemplu, . În mod similar, pentru diferențele descrescătoare se poate folosi notația , iar pentru cele centrale, . $\Delta _{h}^{m}(f,x)$ $m$ $f$ $h$ $X$ $\Delta _{h}^{1}(f,x)=f(x+h)-f(x)$ $\nabla _{h}^{m}(f,x)$ $\delta _{h}^{m}(f,x)$

În aceste notații, se pot scrie formule generale pentru toate tipurile de diferențe finite de ordin arbitrar folosind coeficienți binomiali [3] :

\Delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{mi}C_{m}^{i}f{\ bigl (}x+ih{\bigr )},

\nabla _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f(x -ih),

\delta _{h}^{m}(f,x)=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}C_{m}^{i}f\left (x+\stânga({\frac {m}{2}}-i\dreapta)h\dreapta).

Formula generală pentru este utilizată la construirea polinomului de interpolare al lui Newton . $\Delta _{h}^{m}(f,x)$

Exemplu

Imaginea de mai sus prezintă un exemplu de calcul a diferențelor finite pentru

{\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{0}&=&0,\\n&=&3, \\h&=&1.\end{matrice}}

Valorile sunt situate în celule verzi , în fiecare linie ulterioară sunt date diferențele finale ale ordinii corespunzătoare. $y_{0},\ldots ,y_{n}$

Legătura cu derivate

Derivata unei functii intr-un punct este definita folosind limita : $f$ $X$

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h)).

Sub semnul limită se află diferența finită ascendentă împărțită la pas. Prin urmare, această fracție aproximează derivata la pași mici. Eroarea de aproximare poate fi obținută folosind formula Taylor [4] : $\Delta _{h}^{1}(f,x)$

{\frac {\Delta _{h}^{1}(f,x)}{h}} -f'(x)=O(h)\la 0,\;h\la 0.

O relație similară este valabilă pentru diferența descendentă:

{\frac {\nabla _{h}^{1}(f,x)}{h}} -f'(x)=O(h)\la 0,\;h\la 0.

Diferența centrală oferă o aproximare mai precisă:

{\frac {\delta _{h}^{1}(f,x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\dreapta),\;h \la 0.

Diferențele de ordin finit , împărțite la treapta ridicată la o putere , aproximează derivata ordinului . Ordinea erorii de aproximare nu se modifică [5] : $m$ $m$ $m$

{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{ m}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{m}(f,x)}{h^{m}}}+O\stanga(h^{2}\dreapta).

Concepte înrudite

Se poate observa că diferența finită la un pas fix este un operator liniar care mapează spațiul funcțiilor continue în sine. O generalizare a conceptului de diferență finită este conceptul de operator de diferență .

Conceptele de diferențe divizate și modulul de continuitate sunt, de asemenea, asociate cu diferențele finite .

Note

↑ 1 2 3 4 5 Bakhvalov și colab., 2011 , p. 65.
↑ Korn G. A., Korn T. M. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 669-670.
↑ Bakhvalov și colab., 2011 , p. 66.
↑ Bakhvalov și colab., 2011 , p. 81.
↑ Bakhvalov și colab., 2011 , p. 82.

Literatură

Bakhvalov, N. S. , Zhidkov, N. P. , Kobelkov, G. M. Metode numerice. - Ed. a VII-a -M .: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2011. - 636 p. -ISBN 978-5-9963-0449-3.
Korn G. A., Korn T. M. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri . - M .: " Nauka ", 1974.

Vezi și

Coeficienții formulelor de diferențiere numerică
Secvență liniară recurentă - soluția celui mai simplu tip de ecuație de diferență
Metoda diferențelor finite
Formulele de interpolare ale lui Newton
Diferența împărțită
Transformări binomiale