Coeficienții formulelor de diferențiere numerică

În matematică, pentru un calcul aproximativ al derivatelor unei anumite funcții tabelare , se poate căuta o expresie a valorilor derivatelor prin valorile cunoscute ale funcției folosind un set adecvat de coeficienți . Pentru a face acest lucru, puteți utiliza diverse formule de interpolare sau metoda coeficienților nedeterminați .

Noduri echidistante

Fie un punct în care este necesar să se calculeze derivatele unei funcții suficient de netede , să fie o grilă de noduri echidistante cu un pas și se cunosc valorile funcției la aceste noduri. În acest caz, este posibilă exprimarea formulelor de diferențiere numerică direct în termeni de valori ale funcției folosind formula de interpolare a lui Lagrange . Astfel de formule sunt numite și formule non-diferențe, deoarece nu necesită calculul diferențelor finite sau împărțite [1] . $x_{0}$ $f$ $x_{k}=x_{0}+kh$ $h$ $f$ $f$

În funcție de locația punctului în grila de noduri (stânga, dreapta sau mijloc), se disting coeficienții calculați „înainte”, „înapoi” și respectiv coeficienți simetrici. $x_{0}$

Coeficienți simetrici

Pentru a obține coeficienți simetrici, numărul de noduri din grilă trebuie să fie impar. Atunci ordinea erorii de aproximare va fi un număr par.

Ordine derivată	Ordinea erorii	−5	−4	−3	−2	−1	0	unu	2	3	patru	5
unu	2					−1/2	0	1/2
	patru				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	opt		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					unu	−2	unu
	patru				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	opt		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	unu	0	−1	1/2
	patru			1/8	−1	13/8	0	−13/8	unu	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
patru	2				unu	−4	6	−4	unu
	patru			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	patru		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			unu	−6	cincisprezece	−20	cincisprezece	−6	unu
	patru		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

De exemplu, derivata a treia cu o eroare de ordinul doi este calculată ca

f'''(x_{0})={\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_ {+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h^{3}}}+O\left(h^{2}\dreapta)~.

Cote înainte

Ordine derivată	Ordinea erorii	0	unu	2	3	patru	5	6	7	opt
unu	unu	−1	unu
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	patru	−25/12	patru	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	unu	unu	−2	unu
	2	2	−5	patru	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	patru	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	unu	−1	3	−3	unu
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	patru	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
patru	unu	unu	−4	6	−4	unu
	2	3	−14	26	−24	unsprezece	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	patru	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

De exemplu, prima derivată cu o eroare de ordinul trei și derivata a doua cu o eroare de ordinul doi sunt calculate ca

f'(x_{0})={\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3} {2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~ ,

f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3} )}{h^{2}}}+O\stânga(h^{2}\dreapta)~.

Este ușor de observat că coeficienții pentru eroarea de ordinul întâi sunt coeficienți binomi cu semne schimbătoare, ceea ce corespunde formulei generale pentru diferențele finite crescătoare.

Cote înapoi

Pentru a recupera coeficienții, este necesar să inversați semnele coeficienților înainte pentru derivatele de ordine impare și să oglindiți tabelul de coeficienți de la dreapta la stânga:

Ordine derivată	Ordinea erorii	−5	−4	−3	−2	−1	0
unu	unu					−1	unu
	2				1/2	−2	3/2
	3			−1/3	3/2	−3	11/6
2	unu				unu	−2	unu
2	2			−1	patru	−5	2
3	unu			−1	3	−3	unu
3	2		3/2	−7	12	−9	5/2
patru	unu		unu	−4	6	−4	unu
patru	2	−2	unsprezece	−24	26	−14	3

De exemplu, prima derivată cu o eroare de ordinul trei și derivata a doua cu o eroare de ordinul doi sunt calculate ca

f'(x_{0})={\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{} 2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,

f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3} )}{h^{2}}}+O\stânga(h^{2}\dreapta)~.

O grilă arbitrară de noduri

Pentru a obține coeficienți pentru nodurile situate în mod arbitrar, este convenabil să folosiți metoda coeficienților nedeterminați [2] . Pentru a face acest lucru, valoarea derivatei dorite a ordinului la punct este scrisă ca $x_{0},\ldots,x_{N)$ $k$ $x_{j}$

f^{(k)}(x_{j})=\sum \limits _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i})+R(f)~,

Unde

c_{i}

- coeficienți necunoscuți,

R

este restul interpolării.

Coeficienții sunt selectați din condiția care trebuie îndeplinită pentru funcțiile , , ,..., . Rezultă următorul sistem de ecuații liniare : $c_{i}$ $R(f)=0$ $unu$ $X$ $x^{2}$ $x^N$

\left({\begin{array}{cccc}1&1&\ldots &1\\x_{0}&x_{1}&\ldots &x_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \x_{0}^{k-1}&x_{1}^{k-1}&\ldots &x_{N}^{k-1}\\x_{0}^{k}&x_{1}^{ k}&\ldots &x_{N}^{k}\\x_{0}^{k+1}&x_{1}^{k+1}&\ldots &x_{N}^{k+1}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{N}&x_{1}^{N}&\ldots &x_{N}^{N}\\\end{array}}\right )\left({\begin{array}{c}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{k-1}\\c_{k}\\c_{k+1}\ \\vdots \\c_{N}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\\vdots \\0\\k!\\(k) +1)!x_{j}\\\vdots \\N(N-1)\ldots (N-k+1)x_{j}^{Nk}\end{array}}\right)~.

În acest caz, eroarea de calcul va fi de ordinul . $N-k+1$

Matricea sistemului este matricea Vandermonde , care apare și la rezolvarea problemei generale a interpolării prin polinoame .

Note

↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 230.
↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 234.

Literatură

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Metode de calcul. - Ed. a II-a. -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Rusă)
Fornberg, B. Generarea de formule cu diferențe finite pe grile distanțate arbitrar // Matematica calculului. - 1988. -Vol. 51. -P. 699-706. -doi:10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0.

Link -uri

Calculator de coeficienți pentru grile arbitrare de noduri (numeric)

Vezi și

Metoda diferențelor finite