Integrala functionala
Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 23 august 2022; verificarea necesită 1 editare .Integrală funcțională (integrală de cale, integrală de cale, integrală de cale Feynman, integrală Feynman) este o înregistrare sau rezultat al integrării funcționale (integrarea căii). Ea își găsește cea mai mare aplicație în fizica cuantică (teoria câmpului cuantic , teoria corzilor etc.) și în fizica statistică, precum și în studiul unui număr de clase de procese stocastice în general.
Integrarea funcțională înseamnă în mod formal calculul integralei unei anumite funcționale Ф în spațiul funcțiilor x ( t ) sau a unei submulțimi [1] a unui astfel de spațiu:
![{\displaystyle \int Dx\,\Phi [x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecf4c074f46d7e99b3f422b9df83a4d016a2470)
care este definită ca limita a integralei (finite-dimensionale) peste spațiul anumitor aproximări finite-dimensionale ale funcțiilor x ( t ) întrucât dimensiunea acestor aproximări tinde spre infinit; modul obișnuit și cel mai simplu este de a considera funcția x pe o mulțime finită de puncte , apoi definind integrala funcțională în cel mai simplu caz al unei partiții uniforme, care poate fi limitată, ca
![{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int \int \dots \int dx_{1}\,dx_{2}\dots dx_{N}\,\Phi [x_{1},x_{2 },\dots ,x_{N}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a1a501a77b8dcf41b9dc80e7f457621f2cf959)
unde prin se înțelege aproximarea corespunzătoare a funcționalului Ф[ x ], în timp ce integrarea se înțelege separat peste de la (în cazul fix și peste ele, nu este necesar să se integreze).
![{\displaystyle \Phi [x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690da5b7697a4d9fc38bf0864ce2b369f052962a)
Corectitudinea acestei definiții este deja pusă sub semnul întrebării în sensul că chiar și pentru multe dintre acele cazuri care prezintă interes fizic, ca să nu mai vorbim de o formulare mai generală a întrebării, însăși existența limitei (în special, asemănarea acesteia la alegere). diferite tipuri de partiții) nu a fost dovedit; în plus, într-o serie de exemple, diferite tipuri dau rezultate diferite) și în multe cazuri nu există nicio modalitate de a specifica criterii clare pentru alegerea tipului „corect” de partiție, care va conduce exact la rezultatul dorit, ceea ce înseamnă că corectitudinea determinării măsurii integrării nu a fost dovedită nici măcar pentru multe dintre acele cazuri, care prezintă interes fizic, cel puțin în sensul obișnuit.
De asemenea, o dificultate serioasă este calculul exact al unor astfel de integrale (cu excepția cazului Gaussian).
Cu toate acestea, chiar și faptul că cel puțin integralele de tip Gaussian sunt exact calculate dă multe pentru aplicarea metodei de integrare funcțională. În special, acest rezultat poate fi luat ca definiție a unei integrale funcționale pentru acest caz și să demonstreze că, fiind astfel definit, are într-adevăr proprietățile unei integrale: admite integrarea pe părți, modificări ale variabilelor etc. [2]
Semnificația fizică a integralei funcționale se reduce, de obicei, la calcularea sumei (suprapoziției) unei anumite mărimi (de obicei este probabilitatea pentru fizica statistică clasică sau amplitudinea probabilității pentru mecanica cuantică) pe „toate” traiectorii (adică peste toate particulele clasice disponibile în cazul mișcării browniene și de-a lungul a tot ceea ce se poate imagina în cazul mecanicii cuantice).
Aplicația principală
Modele
O plimbare aleatoare obișnuită poate genera, atunci când este reformulată, o cale integrală cu o anumită acțiune. Acest lucru este, în general, relativ evident în cazuri simple.
S-a demonstrat că un mod similar de generare a unei căi integrale cu acțiunea obișnuită funcționează și în cazul bidimensional - pentru a obține o acțiune pentru un șir (un obiect bidimensional, ținând cont de dimensiunea timpului).
Analogii fizice
Analogia integralei de cale pentru o particulă punctuală este funcția de partiție (greutatea statistică) pentru un fir de polimer [3] .
Calcul
Calcul exact
După cum sa menționat mai sus, calculul exact al integralei funcționale a formei
![{\displaystyle \int Dx\,e^{kS[x]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9bd06c28e8148ca0424fed22934e98f2ab74a5)
unde k poate fi pur imaginar în cazul cuantic sau real în cazul difuziei clasice, numai dacă este de tip gaussian, adică atunci când acțiunea lui S este pătratică în x ( lagrangianul este pătratic în x și derivatele sale, sau poate , chiar și în unele cazuri similare: principalul lucru este ca S să fie o formă pătratică, definită negativă în cazul real).
Metoda se rezumă la scrierea unei versiuni discrete, în conformitate cu definiția de la începutul articolului. Integralele (obișnuite) care intră în formulă sunt apoi luate exact (ca Gaussiani ) și apoi se poate merge la limită.
Calcul aproximativ
Metode numerice
Metodele de calcul legate de găsirea valorilor integralelor de cale folosind un calculator, inclusiv formule de cuadratura precum formulele lui Simpson și alte metode, au fost dezvoltate destul de extins până în 2010, deși sunt utilizate în principal doar de specialiștii restrânși și pentru cea mai mare parte. parte nu sunt cunoscute de fizicieni.
Istorie
Prima apariție a integralelor de cale se referă aparent la lucrările lui Einstein și Smoluchowski[ clarifica ] despre teoria mișcării browniene .
Bazele teoriei matematice a unor astfel de integrale sunt legate de lucrările lui Wiener din anii 1920 . Cu toate acestea, teoria lor matematică riguroasă și suficient de completă întâmpină încă dificultăți semnificative (asociate cu întrebarea introducerii corecte a unei măsuri asupra spațiului funcțiilor, cu problema dovedirii independenței limitei asupra tipului de partiție într-un mod destul de general). caz).
În 1933 (în lucrarea sa „Lagrangian în mecanica cuantică”) Dirac a propus ideea de a folosi integrala de cale în mecanica cuantică.
Feynman a implementat acest program la sfârșitul anilor 1940 prin dezvoltarea formalismului integral al căii, care s-a dovedit a fi extrem de fructuos în fizica teoretică. Aceasta a însemnat apariția unei metode noi din punct de vedere tehnic (care, pe lângă cele pur tehnice, avea și o serie de avantaje intuitive) de construire a teoriilor cuantice, care ulterior a devenit poate cea mai populară în rândul teoreticienilor. Feynman însuși, pe baza formalismului integralei de cale, a construit o tehnică de bază a teoriei câmpurilor cuantice precum diagramele Feynman .
Prin utilizarea integralei de cale, s-au obținut astfel de rezultate fundamentale, cum ar fi, de exemplu, dovada renormalizării teoriei Yang-Mills ( Faddeev și Popov ).
Vezi și
- Formulare în termeni de integrale de cale
- Distribuția Gaussiană continuă
- Teorema lui Wick pentru integrala funcțională
- Teoria perturbației câmpului cuantic în fizica statistică
Note
- ↑ Cel mai tipic exemplu de domeniu de integrare într-un spațiu de funcții este mulțimea tuturor funcțiilor unui spațiu dat care îndeplinesc condiția fixării valorilor lor în două puncte (la capetele unui segment).
- ↑ Articolul din Physical Encyclopedia Archival din 29 februarie 2012 la Wayback Machine (A. A. Slavnov).
- ↑ Polyakov, 1999 .
Literatură
- Simon B. Integrare funcțională și fizică cuantică. — Academic Press, 1979.
- Berezin F. A. A doua metodă de cuantizare. — M .: Nauka , 1986. — 320 p.
- Zinn-Justin J. Integrală continuu în mecanica cuantică. — M .: Fizmatlit , 2010. — 360 p.
- Lobanov Yu. Yu. Metode aproximative de integrare funcțională pentru investigarea numerică a modelelor în fizica cuantică (disertație pentru gradul de doctor în științe fizice și matematice). - M. , 2009.
- Polyakov A. M. Câmpuri de ecartament și șiruri. - Izhevsk: RHD, 1999. - 316 p.
- Popov VN Integrale continue în teoria cuantică a câmpurilor și mecanica statistică. — M .: Atomizdat , 1976. — 256 p.
- Slavnov AA, Faddeev LD Introducere în teoria cuantică a câmpurilor gauge. — M .: Nauka , 1988. — 272 p.
- Smolyanov O. G. , Shavgulidze E. T. Integrale continue. — M .: Nauka , 1990. — 150 p.
- Feynman R., Hibs A. Mecanica cuantică și integralele de cale. — M .: Mir , 1968. — 384 p.
- Shestakova TP Metoda integrală a drumului în teoria câmpului cuantic. - Izhevsk: IKI, 2005. - 228 p.