Distribuția Gaussiană continuă
Distribuția Gaussiană continuă a fost introdusă în teoria câmpurilor cuantice ca o extensie a noțiunii de distribuție Gaussiană pentru vectorii cu dimensiuni finite la spațiile continue ale câmpurilor scalare și vectoriale . Distribuția continuu este utilizată activ în aparatul de integrale funcționale .
Definiție
Luați în considerare un câmp dintr-un spațiu definit de condițiile problemei (de regulă, problema definește condiții precum netezimea și scăderea la infinit). În general, are un număr arbitrar de pictograme și argumente. Notând setul de pictograme de câmp ca , și setul de argumente ca , numim densitatea normală (gaussiană) de distribuție funcțională
,
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\iint \limits _{\Omega ^{2}}\!\mathrm { d} X_{1}\,\mathrm {d} X_{2}\,\varphi _{I_{1}}(X_{1})\cdot K_{I_{1},I_{2}}(X_ {1},X_{2})\cdot \varphi _{I_{2}}(X_{2})\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df90230b065fce148f45dfb81b6aa7560d2c8a09)
unde este domeniul argumentelor câmpului , însumarea este implicată de seturile de pictograme și este nucleul unui operator diferențial-integral și este o constantă de normalizare.
Această definiție, de regulă, este scrisă mai pe scurt, omițând semnele, argumentele și integrările:
.
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi, K\varphi \right)\right\}=C \exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8079e0c665e981498992004c24282f2b0e24007)
Medii
Să presupunem că vrem să calculăm valoarea medie a unei cantități ( funcția de stare ) . Introducem operația de mediere
![{\displaystyle F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2efa2888b17d414da8ac85ac12a7926e69ade1c)
![{\displaystyle \langle F\rangle =\int \limits _{E}\!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def965106793053b60205b4a7712aa57c9639315)
Integrala funcțională (cale) este scrisă în partea dreaptă a expresiei (pentru detalii, vezi Integrală funcțională ).
Calculul integralelor de cale gaussiene
Pentru integralele gaussiene de cale, generalizarea formulei pentru integralele gaussiene n-dimensionale la cazul căii funcționează:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi,K\varphi \right)+\left (A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac { (A,K^{-1}A)}{2}}\dreapta\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Condiție de normalizare și constantă
Introducerea condiției de normalizare
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b26db962bc5b4df0934f5e6e6c3700910c1023)
și folosind formula din paragraful anterior, obținem
.
![{\displaystyle C=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f758b76ab1854e42b36498d8bcc0d110e3b2a50f)
Vezi și
Literatură
- Richard Phillips Feynman, Albert R. Hibbs. Mecanica cuantică și integralele de cale. - Editura „Mir”, 1968.