Criteriul lui Sylvester

Criteriul Sylvester determină dacă o matrice pătrată simetrică este pozitivă (negativă, nenegativă) definitivă .

Fie forma pătratică să aibă o matrice într-o anumită bază

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_ {{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}\right| .

Atunci această formă este definită pozitivă dacă și numai dacă toate unghiularele sale minore de dimensiuni i × i , unde i variază pe toate numerele întregi de la 1 la n inclusiv, sunt pozitive; și este negativ definit dacă și numai dacă semnele alternează, de altfel [1] . Aici, minorele unghiulare ale unei matrice sunt determinanții formei $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{1}<0$ $A$

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ vmatrix}},\ldots ,\Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{ 2i}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ii}\end{vmatrix}},\ldots

Dovada

Un criteriu pentru caracterul pozitiv al unei forme pătratice

Criteriul spune că

Pentru ca o formă pătratică să fie pozitivă definită, este necesar și suficient ca minorele unghiulare ale matricei sale să fie pozitive.

Dovada sa se bazează pe metoda lui Jacobi de a reduce o formă pătratică la o formă canonică.

Dovada de necesitate

Fie o formă pătratică definită pozitivă. Atunci j --lea element diagonal este pozitiv, deoarece , unde este un vector cu toate coordonatele zero, cu excepția j --lea. La reducerea matricei la forma canonică, din cauza nedegenerarii minorilor unghiulari, rândurile nu vor trebui rearanjate, prin urmare, ca urmare, semnele minorilor principale ale matricei nu se vor schimba. Și în forma canonică, elementele diagonale sunt pozitive, și deci minorele sunt pozitive; prin urmare, (deoarece semnul lor nu s-a schimbat în timpul transformărilor) pentru o formă pătratică definită pozitivă în orice bază, principalele minore ale matricei sunt pozitive. $q(x)$ $q(e_{j})>0$ $e j$

Dovada de suficiență

Este dată o formă pătratică simetrică, toate ale cărei minore unghiulare sunt pozitive. Luați în considerare mai întâi primul element diagonal în forma sa canonică: semnul său este determinat de primul minor unghiular. În plus, semnul numărului determină semnul elementului ( i + 1) în forma diagonală. Se pare că în forma canonică toate elementele de pe diagonală sunt pozitive, adică forma pătratică este definită pozitiv. [2] $\Delta _{i+1}/\Delta _{i)$

Un criteriu pentru caracterul negativ al unei forme pătratice

Pentru ca o formă pătratică să fie definită negativă, este necesar și suficient ca minorele unghiulare de ordin par ale matricei sale să fie pozitive, iar cele de ordin impar negative.

Dovada se reduce la cazul anterior, deoarece o matrice este definită negativă dacă și numai dacă matricea este definită pozitivă. Atunci când o matrice este înlocuită cu opusul ei, principalele minore de ordin impar își schimbă semnul, în timp ce principalele minore de ordin par rămân aceleași datorită proprietăților de bază ale determinanților. $A$ $-A$ $A$

Un criteriu pentru semidefinititatea unei forme pătratice

Pentru matricele semidefinite pozitive , criteriul este similar: forma este semidefinită pozitivă dacă și numai dacă toate minorele principale sunt nenegative. Aici, minorul principal este determinantul unei submatrici care este simetrică în raport cu diagonala principală, adică o submatrice ale cărei seturi de numere de coloane și rânduri care o specifică sunt aceleași (de exemplu, prima și a treia coloană și rândurile la a cărei intersecție este situată matricea) [3] .

Nu este suficientă nenegativitatea doar minorilor unghiulari, ceea ce reiese din contraexemplul : , dar forma nu este semidefinită pozitivă. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $\Delta _{1}=\Delta _{2}=0\geqslant 0$

Vezi și

James Joseph Sylvester

Note

↑ Criteriul lui Sylvester pentru definirea semnului unei forme pătratice . (nedefinit)
↑ D. V. Beklemishev, Curs de geometrie analitică și algebră liniară , Moscova: FIZMATLIT, 2007.
↑ Kim G.D., Kritskov L.V. Algebră și geometrie analitică: teoreme și probleme. T. 2.2 . - Moscova: Zertsalo, 2003. - S. 155. - 251 p. — ISBN 5-94373-077-X .