Testul Pearson de bunăstare a potrivirii

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 9 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Testul de bunătate a potrivirii lui Pearson sau testul de bunătate a potrivirii (chi-pătrat) $\chi ^{2}$ este o metodă neparametrică care vă permite să evaluați semnificația diferențelor dintre numărul real (dezvăluit ca rezultat al studiului) de rezultate sau caracteristicile calitative ale eșantionului care se încadrează în fiecare categorie și numărul teoretic la care se poate aștepta în loturile studiate dacă ipoteza nulă este adevărată. În termeni mai simpli, metoda vă permite să evaluați semnificația statistică a diferențelor dintre doi sau mai mulți indicatori relativi (frecvențe, acțiuni).

Este cel mai des folosit criteriu pentru testarea ipotezei că mărimea eșantionului observat aparține unei legi teoretice de distribuție . $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $n$ $F(x,\theta)$

Criteriul chi-pătrat pentru analiza tabelelor de contingență a fost dezvoltat și propus în 1900 de fondatorul statisticii matematice , omul de știință englez Karl Pearson .

Criteriul poate fi folosit pentru a testa ipoteze simple ale formei

H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta),

unde este vectorul cunoscut al parametrilor legii teoretice, iar la testarea ipotezelor complexe de forma $\theta$

H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta),\theta \in \Theta \right\},

când o estimare a unui parametru de distribuție scalară sau vectorială este calculată pe același eșantion. ${\pălărie {\theta ))$ $F(x,\theta)$

Criterii statistice

Procedura de testare a ipotezelor folosind criterii de tip presupune gruparea observațiilor. Domeniul de definire al unei variabile aleatoare este împărțit în intervale care nu se intersectează prin puncte de limită $\chi ^{2}$ $k$

x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)},

unde este limita inferioară a domeniului de definire a unei variabile aleatoare; - Marginea superioară. $x_{(0)}$ $x_{(k)}$

În conformitate cu partiția dată, se calculează numărul de valori ale eșantionului care se încadrează în al- lea interval și probabilitățile de a se încadra în interval $n_{i}$ $i$

P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta ),

corespunzătoare unei legi teoretice cu funcţie de distribuţie $F(x,\theta).$

în care

n=\sum _{i=1}^{k}n_{i}

și

\sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1.

La testarea unei ipoteze simple, se cunosc atât forma legii, cât și toți parametrii ei (se cunoaște parametrul scalar sau vectorial ). $F(x,\theta)$ $\theta$

Statisticile utilizate în testele de bunăstare a tipului se bazează pe măsurarea abaterilor de la . $\chi ^{2}$ $n_{i}/n$ $P_{i}(\theta)$

Statistica de bunătate a potrivirii Pearson este determinată de relație $\chi ^{2}$

\chi ^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta)\right)^{ 2}}{P_{i}(\theta )}}.

În cazul testării unei ipoteze simple, în limita la , această statistică se supune unei distribuții cu grade de libertate, dacă ipoteza testată este adevărată . Densitatea distribuției -, care este un caz special al distribuției gamma , este descrisă de formula $n\la\infty$ $\chi _{r}^{2}$ $r=k-1$ $H_{0}$ $\chi _{r}^{2}$

g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}.

Ipoteza testată este respinsă pentru valori mari ale statisticilor, atunci când valoarea statisticilor calculate din eșantion este mai mare decât valoarea critică $H_{0}$ $\chi _{n}^{2)$ $\chi _{r,\alpha }^{2},$

P\left(\chi _{n}^{2}>\chi _{r,\alpha }^{2}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\ Gamma (r/2)}}\int _{\chi _{r,\alpha }^{2}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds

sau nivelul de semnificație atins ( valoarea p ) este mai mic decât nivelul de semnificație dat (probabilitatea dată de eroare de primul fel ) . $\alfa$

Testarea ipotezelor complexe

La testarea ipotezelor complexe, dacă parametrii legii pentru același eșantion sunt estimați ca urmare a minimizării statisticilor sau pentru un eșantion grupat folosind metoda maximei probabilități , atunci statistica , dacă ipoteza testată este adevărată, respectă o distribuție cu grade de libertate, unde este numărul de parametri estimați din eșantion. $F(x,\theta)$ $\chi _{n}^{2)$ $\chi _{n}^{2)$ $\chi _{r}^{2}$ $r=km-1$ $m$

Dacă parametrii sunt estimați din eșantionul original negrupat , atunci distribuția statisticii nu va fi o distribuție [1] . Mai mult, distribuția statisticilor atunci când ipoteza este adevărată va depinde de metoda de grupare, adică de modul în care domeniul de definiție este împărțit în intervale [2] . $\chi _{km-1}^{2)$ $H_{0}$

Când estimați metoda de probabilitate maximă a parametrilor pentru un eșantion negrupat, puteți utiliza criterii modificate precum [3] [4] [5] [6] . $\chi ^{2}$

Despre puterea criteriului

Atunci când se utilizează criterii de bunăstare a potrivirii, de regulă, nu sunt stabilite ipoteze concurente: eșantionul aparține unei anumite legi, iar ca ipoteză concurentă, se ia în considerare orice altă lege. Desigur, criteriul va putea distinge în moduri diferite de legea corespunzătoare, legi apropiate sau îndepărtate de aceasta. Dacă specificăm o ipoteză concurentă și o lege concurentă corespunzătoare acesteia , atunci putem vorbi deja despre erori de două tipuri: nu numai despre o eroare de primul fel (respingerea ipotezei testate atunci când este adevărată) și probabilitatea de a această eroare , dar și despre o eroare de al 2-lea fel (nerespingerea în condiții de corectitudine ) și probabilitatea acestei erori . $H_{0}$ $H_{1}$ $F_{1}(x,\theta )$ $H_{0}$ $\alfa$ $H_{0}$ $H_{1}$ $\beta$

Puterea criteriului în raport cu ipoteza concurentă se caracterizează prin valoarea . Cu cât criteriul recunoaște mai bine o pereche de ipoteze concurente și , cu atât puterea sa este mai mare. $H_{1}$ $1-\beta$ $H_{0}$ $H_{1}$

Puterea testului de bunătate a potrivirii lui Pearson depinde în mod semnificativ de metoda de grupare [7] [8] și de numărul de intervale ales [8] [9] . $\chi ^{2}$

În cadrul grupării optime asimptotic, care maximizează diferitele funcționalități ale matricei de informații Fisher asupra datelor grupate (minimizează pierderile asociate grupării), testul de bunăstare a potrivirii Pearson are puterea maximă în raport cu ipotezele concurente „(foarte) apropiate” [1]. 10] [8] [9] . $\chi ^{2}$

Când se testează ipoteze simple și se utilizează gruparea optimă asimptotic, testul Pearson de bunătate a potrivirii are un avantaj în putere față de testele neparametrice de bunătate a potrivirii. Când se testează ipoteze complexe, puterea criteriilor neparametrice crește și nu există un astfel de avantaj [11] [12] . Totuși, pentru orice pereche de ipoteze concurente (legi concurente), prin alegerea numărului de intervale și a metodei de împărțire a domeniului de definire a unei variabile aleatoare în intervale, este posibilă maximizarea puterii criteriului [13] . $\chi ^{2}$

Vezi și

Testul exact al lui Fisher

Note

↑ Chernoff H., Lehmann EL Utilizarea estimărilor de probabilitate maximă în testul de bunătate a potrivirii $\chi ^{2}$ // The Annals of Mathematical Statistics. - 1954. - Vol. 25 . - P. 579-586 .
↑ Lemeshko B. Yu., Postovalov S. N. De dependența distribuțiilor limită ale statisticilor Pearson și a raportului de probabilitate de metoda de grupare a datelor $\chi ^{2}$ // Laboratorul industrial. - 1998. - T. 64 , nr. 5 . - S. 56-63 . (Rusă)
↑ Testul Nikulin M.S. Chi-pătrat pentru distribuții continue cu parametrii de deplasare și scară // Teoria probabilității și aplicarea acesteia. - 1973. - T. XVIII , nr. 3 . - S. 583-591 . (Rusă)
↑ Nikulin M.S. Despre criteriul chi-pătrat pentru distribuțiile continue // Teoria probabilității și aplicarea ei. - 1973. - T. XVIII , nr. 3 . - S. 675-676 . (Rusă)
↑ Rao KC, Robson DS O statistică chi-pătrat pentru testele de bunăstare a potrivirii în cadrul familiei exponențiale // Commun. etatistul. - 1974. - Vol. 3 . - P. 1139-1153 .
↑ Greenwood PE, Nikulin MS Un ghid pentru testarea chi-pătrat . — New York: John Wiley & Sons, 1996. — 280 p.
↑ Lemeshko B. Yu. Gruparea optimă asimptotic a observațiilor în criteriile de bunăstare a potrivirii // Laboratorul fabricii. - 1998. - T. 64 , nr. 1 . - S. 56-64 . (Rusă)
↑ 1 2 3 R 50.1.033-2001. Recomandări pentru standardizare. Statistici aplicate. Reguli de verificare a acordului dintre distribuția experimentală și cea teoretică. Partea I. Teste Chi-Pătrat . - M . : Editura de standarde, 2006. - 87 p.
↑ 1 2 Lemeshko B. Yu., Chimitova E. V. Despre alegerea numărului de intervale în criteriile acordului de tip $\chi ^{2}$ // Laboratorul fabricii. diagnosticarea materialelor. - 2003. - T. 69 , nr. 1 . - S. 61-67 . (Rusă)
↑ Denisov V. I., Lemeshko B. Yu. Gruparea optimă în prelucrarea datelor experimentale // Sisteme de măsurare informaționale. - Novosibirsk, 1979. - S. 5-14.
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N. Analiza comparativă a puterii criteriilor de bunătate de potrivire în ipoteze strânse concurente. I. Testarea ipotezelor simple // Siberian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , nr. 2(34) . - S. 96-111 . (Rusă)
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N. Analiza comparativă a puterii testelor de bunătate de potrivire cu alternative apropiate. II. Testarea ipotezelor complexe // Siberian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , nr. 4(36) . - S. 78-93 . (Rusă)
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N., Chimitova E. V. Analiza datelor statistice, modelarea și studiul tiparelor probabilistice. Abordarea computerizată . - Novosibirsk: Editura NSTU, 2011. - 888 p. — (Monografii ale NSTU). — ISBN 978-5-7782-1590-0 . (Rusă)— Secțiunea 4.9.

Literatură

Kendall M., Stuart A. Inferență statistică și conexiuni. — M .: Nauka, 1973.

Testul Pearson de bunăstare a potrivirii

Criterii statistice

Testarea ipotezelor complexe

Despre puterea criteriului

Vezi și

Note

Literatură

Vezi și

Link -uri