Borel-Cantelli Lema

Lema Borel-Cantelli din teoria probabilității este un rezultat privind o succesiune infinită de evenimente. Lema este adesea folosită pentru a demonstra teoreme limită. Lema este de obicei împărțită în două afirmații, numite prima și a doua lemă Borel-Cantelli.

Prima lemă

Să fie dat un spațiu de probabilitate și o succesiune de evenimente . Denota $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}\subset {\mathcal {F}}$

A=\limsup \limits _{{n\to \infty }}A_{n}\equiv \bigcap \limits _{{n=1}}^{{\infty }}\left(\bigcup \limits _{ {m=n}}^{{\infty }}A_{m}\dreapta)

Atunci, dacă seria converge, atunci . $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=0$

A doua lemă

Dacă toate evenimentele sunt împreună independente și seria diverge, atunci . $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Notă

În prima lemă Borel-Cantelli, independența evenimentelor nu este necesară.

Vezi și

Legea lui zero sau unu ;
Teorema maimuței infinite ;
Borel, Emile ;
Cantelli, Francesco Paolo ;
Convergență Kuratowski

Link -uri

Prokhorov, A.V. (2001), Borel–Cantelli lema , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4