Ecuația logistică

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 martie 2020; verificările necesită 6 modificări .

Ecuația logistică , cunoscută și sub numele de ecuația Verhulst (după matematicianul belgian care a formulat-o pentru prima dată ), a apărut inițial în studiul schimbărilor populației .

Ipotezele inițiale pentru derivarea ecuației atunci când se ia în considerare dinamica populației sunt următoarele:

Indicând prin dimensiunea populației (în ecologie , denumirea este adesea folosită ) și timp - , modelul poate fi redus la ecuația diferențială

unde parametrul caracterizează rata de creștere (reproducție) și  - capacitatea de susținere a mediului (adică dimensiunea maximă posibilă a populației). Pe baza denumirii coeficienților, în ecologie aceștia disting adesea[ clarifica ] două strategii pentru comportamentul speciilor:

Soluția exactă a ecuației (unde  este dimensiunea inițială a populației) este funcția logistică , curba S (curba logistică):

Unde

Este clar că într-o situație de „cantitate suficientă de resurse”, adică atâta timp cât P ( t ) este mult mai mic decât K , funcția logistică crește inițial aproximativ exponențial :

În mod similar, atunci când „epuizarea resurselor” ( t  → ∞), diferența scade exponențial cu același exponent.

De ce Verhulst a numit ecuația logistică rămâne necunoscut.

Cea mai mare contribuție la popularizarea ideii de creștere a populației de-a lungul curbei logistice a fost făcută de biologul american Raymond Pearl [ 1] [2] .

În 1920, Pearl, împreună cu Lowell Jacob Reed, a publicat On the Rate of Growth of the Population of the United States since 1790 and its Mathematical Representation [3] , în care a fost dată o ecuație a curbei similară cu cea prezentată de Verhulst; adică ecuația curbei logistice a fost redescoperită.

Curba logistică după Verhulst și înainte de Pearl a fost redescoperită de cel puțin cinci ori, așa cum este descrisă de Peter John Lloyd în articolul său [4] . Și chiar și după numeroase publicații ale lui Pearl, curba a continuat să fie descoperită [4] .

În urma publicării unei lucrări despre rata de creștere a populației în Statele Unite [3] , Pearl a desfășurat un program de cercetare la scară largă în laboratorul său asupra populației de muștele de fructe Drosophila melanogaster.

Experimentele efectuate pentru a determina traiectoria de-a lungul căreia populația de muște crește într-un spațiu limitat și cu resurse alimentare limitate au arătat că în condiții de laborator, o colonie de muște Drosophila demonstrează creșterea de-a lungul traiectoriei curbei logistice [5] .

Experimente similare au fost repetate de mulți, obiectele nu erau doar Drosophila . Există o mulțime de date experimentale care arată că pentru multe specii biologice, traiectoria modificărilor numărului lor se realizează în experimente, corespunzătoare modelului Verhulst-Pearl [1] .

Toate încercările de a modela dinamica creșterii numărului de oameni din diferite țări și regiuni folosind curba logistică au fost eșuate, în sensul că previziunile nu s-au adeverit, iar experimentele de laborator cu animale și organisme inferioare au arătat coincidența creșterii lor. traiectorii cu cursul curbei logistice [1] .

De ce legea logistică a creșterii se dovedește a fi adevărată în condiții de laborator, dar nu și în viața reală?

Motivul este că experimentele în laborator au fost efectuate la o temperatură confortabilă pentru subiecții experimentali, cu disponibilitatea constantă a hranei, absența dușmanilor, a bolilor și a altor fenomene negative, adică condițiile de viață ale subiecților experimentali au fost aproape de ideal. În același timp, procesul de creștere se dovedește a fi destul de determinist și previzibil. Și creșterea populației din orice țară sau regiune are loc sub influența factorilor negativi - epidemii, războaie, foamete, dezastre naturale. Impacturile negative (tulburările) sunt aleatorii în timp și procesul de creștere devine slab previzibil, probabilistic [1] .

Din 1924, Pearl a început să susțină că curba logistică reflectă legea creșterii populației, că creșterea de-a lungul curbei logistice este legea universală a creșterii tuturor viețuitoarelor în general [5] [6] . Biologii, statisticienii și economiștii nu au fost de acord cu Pearl că aceasta este o lege, deoarece expresia (formula) matematică a curbei logistice nu conține în mod explicit parametrii procesului real modelat - nu conține în mod explicit factorii pe care populația dimensiunea depinde și, după perioada a numeroase prezentări și discuții critice, a fost determinată zona de aplicabilitate a acestuia ca instrument de cercetare pentru curba [1] [2] .

În 1924, Raymond Pearl a aplicat ecuația pentru a descrie reacțiile autocatalitice .

Analogul discret al ecuației logistice este harta logistică .

Note

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Drozdyuk A. Curba logistică .. - Toronto: Choven, 2019. - vi + 271 + [3] p. - ISBN ISBN 978-0-9866300-2-6 .
  2. ↑ 1 2 Kingsland, Sharon. Modelul refractar: ​​curba logistică și istoria ecologiei populației  (engleză)  // The Quarterly Review of Biology. - 1982. - Martie ( vol. 57 , nr. 1 ). — S. 29–52 .
  3. ↑ 1 2 Pearl, Raymond și Lowell J. Reed. Despre rata de creștere a populației din Statele Unite din 1790 și reprezentarea sa matematică  //  Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS; SUA). - 1920. - 15 iunie ( vol. 6 , nr. 6 ). — S. 275–288 .
  4. ↑ 1 2 Lloyd PJ Antecedente americane, germane și britanice ale curbei logistice a lui Pearl și Reed  //  ​​Studii de populație. - 1967. - Septembrie ( vol. 21 , nr. 2 ). — S. 99–108 .
  5. ↑ 1 2 Pearl, Raymond. Biologia creșterii populației . - New York: Alfred A. Knopf, 1925. - xiv + 260 p.
  6. Pearl, Raymond. Biologia creșterii populației  //  Mercurul american. - 1924. - Noiembrie ( vol. III , nr. 11 ). — S. 293–305 .

Literatură

Vezi și