Ecuația logistică , cunoscută și sub numele de ecuația Verhulst (după matematicianul belgian care a formulat-o pentru prima dată ), a apărut inițial în studiul schimbărilor populației .
Ipotezele inițiale pentru derivarea ecuației atunci când se ia în considerare dinamica populației sunt următoarele:
Indicând prin dimensiunea populației (în ecologie , denumirea este adesea folosită ) și timp - , modelul poate fi redus la ecuația diferențială
unde parametrul caracterizează rata de creștere (reproducție) și - capacitatea de susținere a mediului (adică dimensiunea maximă posibilă a populației). Pe baza denumirii coeficienților, în ecologie aceștia disting adesea[ clarifica ] două strategii pentru comportamentul speciilor:
Soluția exactă a ecuației (unde este dimensiunea inițială a populației) este funcția logistică , curba S (curba logistică):
Unde
Este clar că într-o situație de „cantitate suficientă de resurse”, adică atâta timp cât P ( t ) este mult mai mic decât K , funcția logistică crește inițial aproximativ exponențial :
În mod similar, atunci când „epuizarea resurselor” ( t → ∞), diferența scade exponențial cu același exponent.
De ce Verhulst a numit ecuația logistică rămâne necunoscut.
Cea mai mare contribuție la popularizarea ideii de creștere a populației de-a lungul curbei logistice a fost făcută de biologul american Raymond Pearl [ 1] [2] .
În 1920, Pearl, împreună cu Lowell Jacob Reed, a publicat On the Rate of Growth of the Population of the United States since 1790 and its Mathematical Representation [3] , în care a fost dată o ecuație a curbei similară cu cea prezentată de Verhulst; adică ecuația curbei logistice a fost redescoperită.
Curba logistică după Verhulst și înainte de Pearl a fost redescoperită de cel puțin cinci ori, așa cum este descrisă de Peter John Lloyd în articolul său [4] . Și chiar și după numeroase publicații ale lui Pearl, curba a continuat să fie descoperită [4] .
În urma publicării unei lucrări despre rata de creștere a populației în Statele Unite [3] , Pearl a desfășurat un program de cercetare la scară largă în laboratorul său asupra populației de muștele de fructe Drosophila melanogaster.
Experimentele efectuate pentru a determina traiectoria de-a lungul căreia populația de muște crește într-un spațiu limitat și cu resurse alimentare limitate au arătat că în condiții de laborator, o colonie de muște Drosophila demonstrează creșterea de-a lungul traiectoriei curbei logistice [5] .
Experimente similare au fost repetate de mulți, obiectele nu erau doar Drosophila . Există o mulțime de date experimentale care arată că pentru multe specii biologice, traiectoria modificărilor numărului lor se realizează în experimente, corespunzătoare modelului Verhulst-Pearl [1] .
Toate încercările de a modela dinamica creșterii numărului de oameni din diferite țări și regiuni folosind curba logistică au fost eșuate, în sensul că previziunile nu s-au adeverit, iar experimentele de laborator cu animale și organisme inferioare au arătat coincidența creșterii lor. traiectorii cu cursul curbei logistice [1] .
De ce legea logistică a creșterii se dovedește a fi adevărată în condiții de laborator, dar nu și în viața reală?
Motivul este că experimentele în laborator au fost efectuate la o temperatură confortabilă pentru subiecții experimentali, cu disponibilitatea constantă a hranei, absența dușmanilor, a bolilor și a altor fenomene negative, adică condițiile de viață ale subiecților experimentali au fost aproape de ideal. În același timp, procesul de creștere se dovedește a fi destul de determinist și previzibil. Și creșterea populației din orice țară sau regiune are loc sub influența factorilor negativi - epidemii, războaie, foamete, dezastre naturale. Impacturile negative (tulburările) sunt aleatorii în timp și procesul de creștere devine slab previzibil, probabilistic [1] .
Din 1924, Pearl a început să susțină că curba logistică reflectă legea creșterii populației, că creșterea de-a lungul curbei logistice este legea universală a creșterii tuturor viețuitoarelor în general [5] [6] . Biologii, statisticienii și economiștii nu au fost de acord cu Pearl că aceasta este o lege, deoarece expresia (formula) matematică a curbei logistice nu conține în mod explicit parametrii procesului real modelat - nu conține în mod explicit factorii pe care populația dimensiunea depinde și, după perioada a numeroase prezentări și discuții critice, a fost determinată zona de aplicabilitate a acestuia ca instrument de cercetare pentru curba [1] [2] .
În 1924, Raymond Pearl a aplicat ecuația pentru a descrie reacțiile autocatalitice .
Analogul discret al ecuației logistice este harta logistică .