Markov moment de timp

Un moment de timp Markov (în teoria proceselor aleatoare ) este o variabilă aleatoare care nu depinde de viitorul procesului aleatoriu luat în considerare .

Caz discret

Să fie dată o secvență de variabile aleatoare . Atunci o variabilă aleatoare se numește un moment Markov (de timp) dacă pentru orice eveniment depinde numai de variabile aleatoare . $\{Y_{n}\}_{{n\geq 0}}$ $\tau$ $n\geq 0$ $\{\tau \leq n\}$ $Y_{0},\ldots ,Y_{n}$

Exemplu

Fie o succesiune de variabile aleatoare normale independente. Lasă , și $\{Y_{n}\}_{{n\geq 0}}$ $L\in {\mathbb {R}}$

\tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

este momentul în care procesul ajunge pentru prima dată la nivelul . Atunci este un moment Markov, pentru că dacă și numai dacă există astfel încât . Astfel, evenimentul depinde doar de comportamentul procesului până la momentul respectiv . $\{Y_{n}\}$ $L$ $\tau$ $\tau \leq n$ $i\in {\mathbb {N)),\;0\leq i\leq n$ $Y_{i}\geq L$ $\{\tau \leq n\}$ $n$

Lasă acum

\sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

este momentul în care procesul a atins ultima dată nivelul . Atunci nu este un moment Markov, deoarece evenimentul implică cunoașterea comportamentului procesului în viitor. $\{Y_{n}\}$ $L$ $\sigma$ $\{\sigma \leq n\}$

Caz general

Fie dat un spațiu de probabilitate cu filtrare , unde . Atunci variabila aleatoare care ia valori în se numește momentul Markov în raport cu filtrarea dată, dacă . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ $T\subset [0,\infty )$ $\tau$ $T\cup \{\infty \}$ $\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\quad \forall t\in T$

Având în vedere un proces , și sunt σ-algebrele sale naturale, atunci spunem că este un moment Markov în raport cu procesul . $\{X_{t}\}_{t\in T}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}\mid s\leq t)$ $\tau$ $\{X_{t}\}$