Aproximație semiclasică

Aproximația semiclasică , cunoscută și ca metoda WKB ( Wentzel - Kramers - Brillouin ), este cel mai faimos exemplu de calcul semiclasic în mecanica cuantică , în care funcția de undă este reprezentată ca o funcție exponențială, extinsă semiclasic, și apoi fie amplitudinea sau faza se schimbă lent. Această metodă este numită după fizicienii G. Wentzel , H.A. Kramers și L. Brillouin , care au dezvoltat această metodă în 1926 independent unul de celălalt. În 1923 , matematicianul Harold Jeffery a dezvoltat o metodă generală pentru soluția aproximativă a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul doi, care include soluția ecuației Schrödinger . Dar, din moment ce ecuația Schrödinger a apărut doi ani mai târziu, atât Wentzel, cât și Kramers și Brillouin, evident, nu cunoșteau această lucrare anterioară.

Într-un anumit sens, din punct de vedere istoric, aproximarea semiclasică a precedat metoda WKB și conceptul de funcție de undă în general: așa-numita. „ Vechea teorie cuantică ” a studiat empiric același caz limitativ în 1900-1925.

Concluzie

Începând cu ecuația Schrödinger staționară unidimensională:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)= E/Psi(x)

care poate fi rescris ca

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\Psi(x)

reprezentăm funcția de undă ca o funcție exponențială a unei alte funcții necunoscute Φ

\Psi (x)=e^{{\Phi (x)))

Φ trebuie să satisfacă ecuația

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\ dreapta)

unde înseamnă derivata lui în raport cu x . Împărțim în părți reale și imaginare introducând funcțiile reale A și B : $\Phi '$ $\Phi$ $\Phi '(x)$

\Phi '(x)=A(x)+iB(x)

Atunci amplitudinea funcției de undă este , iar faza este . Din ecuația Schrödinger decurg două ecuații pe care aceste funcții trebuie să le îndeplinească: $e^{\int ^{x}A(x')dx')$ ${\int ^{x}B(x')dx')$

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right )\;

B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;

Vrem să luăm în considerare aproximarea semiclasică pentru a rezolva aceste ecuații. Aceasta înseamnă că vom extinde fiecare funcție ca o serie de puteri . Din ecuații, putem observa că seria de puteri trebuie să înceapă cu termenul pentru a satisface partea reală a ecuației. Dar din moment ce avem nevoie de o limită clasică bună, vrem să începem și expansiunea cu o putere cât mai mare a constantei lui Planck . $\hbar$ $\hbar ^{{-1}}$

A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)

B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)

Până la primul ordin de expansiune, ecuațiile pot fi scrise sub formă

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\stanga(V(x)-E\dreapta)

A_{0}(x)B_{0}(x)=0

Dacă amplitudinea se schimbă mai slab decât faza, atunci putem pune și obține $A_{0}(x)=0$

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}

Acest lucru este adevărat numai dacă energia totală este mai mare decât energia potențială. După calcule similare pentru următorul ordin de micime, obținem

\Psi (x)\aprox C{\frac {e^{{i\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)} }+\theta ))}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)))))

Pe de altă parte, dacă faza se schimbă lent în comparație cu amplitudinea, stabilim și obținem $B_{0}(x)=0$

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)))

Acest lucru este adevărat dacă energia potențială este mai mare decât totalul. Pentru următoarea ordine de micime, obținem

\Psi (x)\aprox {\frac {C_{{+}}e^{{+\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x) )-E\right)))))+C_{{-}}e^{{-\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x )-E\dreapta)}}}}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\dreapta))) )}}

Este evident că, datorită numitorului, ambele soluții aproximative diverg în apropierea punctului de cotitură clasic, unde u nu poate fi corectă. Avem soluții aproximative departe de bariera potențială și sub dealul potențial. Departe de bariera de potențial, particulele se comportă ca o undă liberă - faza oscilează. Sub bariera de potențial, particula suferă modificări exponențiale de amplitudine. $E=V(x)$

Pentru a rezolva complet problema, trebuie să găsim soluții aproximative peste tot și să echivalăm coeficienții pentru a face o soluție globală aproximativă. Trebuie totuși să aproximăm soluția în jurul punctelor de cotitură clasice.

Să notăm punctul de cotitură clasic . Aproape de , poate fi extins la rând. $x_{1}$ $E=V(x_{1})$ ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\dreapta)$

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{ 1})^{2}+\cdots

Pentru prima comandă, primim

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)

Soluția sa în apropierea punctelor de cotitură este următoarea:

\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{{+{\frac {1}{3}}}}J_{{+{\frac {1}{3} ))}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\ dreapta)+C_{{-{\frac {1}{3))))J_{{-{\frac {1}{3))))\left({\frac {2}{3)){\ sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\dreapta)\dreapta)

Folosind asimptoticele acestei soluții, putem găsi relația dintre și : $C,\theta$ $C_{{+}},C_{{-}}$

C_{{+}}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

C_{{-}}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

Ceea ce finalizează construcția soluției globale.

Literatură

Pokrovsky VL Aproximație cvasiclasică. Arhivat pe 16 iunie 2011 la Wayback Machine // Physical Encyclopedia. - T. 2. - M .: SE, 1990. - S. 252-255.
metoda WKB. Arhivat pe 15 martie 2012 la Wayback Machine // Physical Encyclopedia. - T. 1. - M .: SE, 1988. - S. 285.
Freman H., Freman P. W. WKB-aproximare. - M . : Mir, 1967. - 166 p.
Maslov VP, Fedoryuk MV Aproximație semiclasică pentru ecuațiile mecanicii cuantice. — M .: Nauka, 1976. — 296 p.