Metoda Kummer

Metoda lui Kummer - în teoria seriilor de numere , o metodă care vă permite să înlocuiți o serie dată cu o alta care converge mai repede a fost propusă de E. Kummer .

Să presupunem că există o serie de numere convergentă și este necesară găsirea sumei acesteia cu o precizie dată. Pentru a crește rata de convergență a acestei serii se folosește metoda Kummer, care constă în următoarele. Se selectează o serie cu o sumă cunoscută astfel încât diferența $a_k$ $b_{k)$

c_{k}=a_{k}-b_{k}=o\,(a_{k}),\;k\to \infty

În acest caz, valoarea poate fi reprezentată ca o sumă în care seria converge mai repede decât seria originală, iar suma seriei este cunoscută. Aceasta înseamnă că pentru a obține suma unei serii cu o precizie dată în al doilea caz, este necesar să se ia un număr mai mic de termeni ai seriei . $S=\sum _{k=0}^{\infty}a_{k)$ $S=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }c_{k)$ $c_{k)$ $b_{k)$ $c_{k)$

De exemplu, pentru a crește rata de convergență a seriei

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2)}}

poate fi folosit în apropiere

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k(k+1)))=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\ tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}}\right)=1

a căror sumă este cunoscută și notați

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\ tfrac {1}{k^{2}(k+1)}}

Transformarea Kummer poate fi aplicată nu tuturor membrilor seriei originale, ci doar membrilor seriei, începând de la un anumit loc. În acest caz, mai mulți membri ai seriei originale rămân neschimbate.

Literatură

Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. Vol. 2, p. 415.