Metoda Chaplygin

Metoda Chaplygin (cunoscută și sub denumirea de metoda aproximărilor cu două fețe [1] ) este o metodă de rezolvare aproximativă a ecuațiilor diferențiale cu un anumit grad de precizie, care a fost propusă de S. A. Chaplygin și se bazează pe teorema Chaplygin . Metoda este destinată rezolvării problemei Cauchy pentru un sistem de EDO de ordinul întâi (sau pentru o EDO de ordin mai mare decât primul) și constă în construirea a două familii de soluții barieră care se apropie constant de soluția exactă a sistemului.

Descrierea metodei

Ideea principală

Să fie dată o ecuație diferențială care este rezolvată în raport cu cea mai mare derivată:

$y^{(n)}-f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})=0$ .

Apoi se cere să se găsească două funcții și , egale cu integrala dorită în punctul și, pe un segment adiacent acestui punct, satisfacerea inegalității . Putem spune că funcțiile și coincid cu laturile AB și AC ale triunghiului curbiliniu ABC (abscisa punctului A - ), în interiorul căruia trece funcția , iar distanța dintre B și C ar trebui să fie relativ mică. $z=z(x)$ $u=u(x)$ $x_{0}$ $u<y<z$ $z$ $u$ $x_{0}$ $y(x)$

Algoritm (pentru o ecuație de ordinul întâi)

Este necesar să se rezolve ecuația , iar funcția satisface condiția Lipschitz . $y'-f(x,y)=0$ $f(x,y)$

Să găsim două funcții și astfel încât în punctul ele să fie soluții ale ecuației și pe vreun semiinterval să fie adevărat: ; . Aceste funcții vor fi considerate ca prima aproximare a soluției. $z_{0}$ $u_{0}$ $x_{0}$ $(x_{0},b]$
$u_{0}'-f(x,u_{0})<0$
$z_{0}'-f(x,z_{0})>0$
Să știm deja o soluție aproximativă și , atunci următoarea aproximare va fi funcțiile: ; ; ; . Aici L este constanta Lipschitz pentru funcția . Dacă, în plus, condiția de păstrare a semnului derivatei a doua parțiale a funcției în raport cu în regiune este îndeplinită , atunci următoarea aproximare poate fi găsită printr-o altă metodă: construim două suprafețe și , dintre care una este formată prin linii drepte care trec prin punctele de intersecție cu și la fix , iar a doua prin tangente la acesta, trasate la un unghi minim cu planul OXY paralel cu axa OY , și . Atunci funcţiile şi pot fi obţinute prin rezolvarea a două ecuaţii diferenţiale liniare: ; $z_{i}$ $tu_{i}$
$h(x)=u_{i}'(x)-f(x,u_{i}(x))$
$u_{i+1}(x)=u_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(xt)}h(t)dt}$
$g(x)=z_{i}'(x)-f(x,z_{i}(x))$
$z_{i+1}(x)=z_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(xt)}g(t)dt}$
$f(x,y)$

$f(x,y)$ $y$ $(x,y)\in ([x_{0},b],[u_{i}(x),z_{i}(x)])$ $\Phi (x,y)$ $\phi (x,y)$ $f(x,y)$ $u_{i}(x)$ $z_{i}(x)$ $X$ $\Phi (x,y)\geqslant f(x,y)\geqslant \phi (x,y)$ $z_{i+1}$ $u_{i+1}$
$z_{i+1}'=\Phi (x,z_{i+1})$ $u_{i+1}'=\phi (x,u_{i+1})$

Convergență [2]

Metoda lui Chaplygin este o generalizare a metodei lui Newton pentru rezolvarea ODE-urilor, prin urmare, pornind de la unele n , . $z_{n}-u_{n}\leqslant C/{2^{2^{n}))$

Note

↑ § O2. Inegalități diferențiale și integrale . Data accesului: 8 iunie 2014. Arhivat din original pe 19 iulie 2014. (Rusă)
↑ Berezin, Jidkov - p. 268-269.

Literatură

Chaplygin S. A. Noua metoda de integrare aproximativa a ecuatiilor diferentiale / Ed. V. K. Goltsman. - L. : Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1950.
Berezin I. S., Zhidkov N. P. Metode de calcul. - M. : Editura de stat de literatură fizică şi matematică, 1959. - T. 2. - S. 260-277.