Metoda variabilelor instrumentale

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 martie 2018; verificările necesită 4 modificări .

Metoda variabilelor instrumentale (IP, IV - Variabile instrumentale) este o metodă de estimare a parametrilor modelelor de regresie , bazată pe utilizarea unor variabile suplimentare, care nu participă la model, așa-numitele variabile instrumentale . Metoda este utilizată atunci când factorii modelului de regresie nu satisfac condiția exogenă , adică sunt dependenți de erori aleatoare. În acest caz, estimările celor mai mici pătrate sunt părtinitoare și inconsecvente .

Aparent, metoda variabilelor instrumentale a fost formulată pentru prima dată de Wright (Wright) în 1928 ca metodă de estimare a curbelor cererii și ofertei . Termenul „variabile instrument” în sine a fost folosit pentru prima dată într-o lucrare din 1941 de către Riersol atunci când a discutat despre erorile în variabile. Mai departe, metoda a fost dezvoltată în lucrările lui Durbin (1954), Sargan (1958) și alții.În contextul sistemelor de ecuații simultane, metoda a fost dezvoltată în paralel sub denumirea de „metoda în două etape a celor mai mici pătrate (LSM). )".

Esența metodei

Să existe un model de regresie liniară

$y=Xb+\varepsilon$

Estimator MOL standard

${\hat {b}}_{OLS}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y=b+V_{x}^{-1}C_{x\ varepsilon }$

unde . $V_{x}={\frac {1}{n}}X^{T}X,C_{x\varepsilon }={\frac {1}{n}}X^{T}\varepsilon$

Această estimare este în mod evident consecventă dacă converge ca probabilitate către o matrice nesingulară și converge ca probabilitate către vectorul zero. A doua condiție este îndeplinită dacă factorii și erorile aleatoare nu sunt corelate. $V_{x}$ $C_{x\varepsilon }$

Dacă factorii și erorile aleatoare sunt corelați, atunci a doua condiție nu este îndeplinită și, prin urmare, estimările MCO nu sunt consecvente. Adică, chiar și cu un număr foarte mare de observații, este posibil ca estimările să nu se apropie de valorile adevărate.

Să fie Z factori necorelați cu erori aleatorii, al căror număr este egal cu numărul de factori inițiali. Aceste variabile sunt numite variabile instrumentale . Printre acestea pot fi atât variabile „pur” instrumentale (absente în model), cât și variabile de model (cele din urmă sunt ele însele presupuse a fi exogene). Atunci estimarea metodei variabilelor instrumentale este estimarea următoarei forme:

${\hat {b}}_{IV}=(Z^{T}X)^{-1}Z^{T}y=b+V_{xz}^{-1}C_{z\ varepsilon }$

Dacă matricea converge în probabilitate către un nedegenerat și către un vector zero, atunci estimarea metodei IP este consecventă. $V_{zx)$ $C_{z\varepsilon }$

Cazul celei mai simple regresii

Pentru modelul IP, estimarea coeficientului b este egală cu $y_t=a+b x_t+\varepsilon_t$

${\hat {b}}={\frac {Cov(z,y)}{Cov(z,x))}$

Notă

În ciuda coerenței, în cazul general, estimările IP sunt părtinitoare și ineficiente. Estimările IP sunt mai bune cu cât variabilele instrumentale sunt mai puternice corelate cu factorii inițiali ai modelului (în timp ce rămân necorelate cu erori aleatoare). Alegerea variabilelor instrumentale este o problemă separată destul de complicată. Nu există recomandări stricte cu privire la alegerea instrumentelor.

Se poate demonstra că estimarea metodei IP poate fi redusă la o procedură în două etape: în primul rând, cele mai mici pătrate obișnuite trebuie să estimeze dependența factorilor de intrare de instrumente și să utilizeze estimările obținute ale factorilor în loc de factorii înșiși. pentru a estima parametrii modelului original. Acesta este așa-numitul MNC în doi pași.

Metoda variabilei instrumentale generalizate

Ca variabile instrumentale, pot fi alese estimări MCO ale regresiei factorilor pe alte variabile Z, al căror număr nu este mai mic decât numărul factorilor inițiali. Adică, în prima etapă, este necesar să se evalueze regresia prin cele mai mici pătrate convenționale: $X=Z\beta +u_{t)$

${\hat {\beta }}_{OLS}=(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X$ .

Atunci matricea variabilelor instrumentale în acest caz va fi egală cu

${\hat {X}}=Z{\hat {\beta }}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X=P_{Z}X$

În a doua etapă, aplicăm metoda variabilelor instrumentale cu instrumentele rezultate : ${\hat {X}}$

${\hat {b}}_{IV}=({\hat {X}}^{T}{\hat {X}})^{-1}{\hat {X}}^{T }y=(X^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y$

Dacă matricea de covarianță a erorilor aleatoare a modelului este proporțională cu unitatea , atunci matricea de covarianță a acestor estimări este egală cu $\sigma ^{2}I$ $V_{{\hat {b}}_{IV}}=\sigma ^{2}(X^{T}P_{Z}X)^{-1}$

Dacă numărul de instrumente z este același cu numărul de variabile originale (cazul exact de identificare ), atunci matricele sunt pătrate. prin urmare $Z^{T}X,~X^{T}Z$

${\hat {b}}_{IV}=(X^{T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X)^{-1}X^{ T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}y=(Z^{T}X)^{-1}(Z^{T}Z)(X^{T} Z)^{-1}(X^{T}Z)(Z^{T}Z)^{-1}(Z^{T}y)=(Z^{T}X)^{-1} Z^{T}y$

Adică obținem formula clasică pentru metoda variabilelor instrumentale. Astfel, în ciuda faptului că această metodă este derivată ca un caz special, ea poate fi totuși considerată o generalizare a metodei IP clasice. Aceasta este așa-numita metodă generalizată a variabilelor instrumentale (GIVE - Generalized Instrumental Variables Estimator) .

Relația cu cele mai mici pătrate în doi pași

Se poate demonstra că dacă în a doua etapă aplicăm nu metoda variabilelor instrumentale, ci metoda obișnuită a celor mai mici pătrate, atunci vom obține exact aceeași formulă, deoarece

${\hat {X}}^{T}{\hat {X}}=X^{T}P_{Z}^{T}P_{Z}X=X^{T}P_{Z} X={\hat {X}}^{T}X$

prin urmare

${\hat {b}}_{TSLS}=({\hat {X}}^{T}{\hat {X}})^{-1}{\hat {X}}^{T }y=({\hat {X}}^{T}X)^{-1}{\hat {X}}^{T}y=(X^{T}P_{Z}X)^{- 1}X^{T}P_{Z}y={\hat {b}}_{DĂRĂ}$

Astfel, metoda generalizată a variabilelor instrumentale este echivalentă cu metoda celor mai mici pătrate în două etape ( DMNC, TSLS, 2SLS - Two-Stage Least Squares ).

Vezi și

Literatură

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrie. Curs inițial. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .