Metoda de regularizare Tihonov

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Metoda de regularizare a lui Tikhonov este un algoritm care permite găsirea unei soluții aproximative la problemele de operator prost puse de forma . A fost dezvoltat de A.N. Tikhonov în 1965 [1] . Ideea principală este de a găsi o soluție aproximativă a ecuației sub forma , unde este operatorul de regularizare. El trebuie să se asigure că atunci când se apropie de valoarea exactă a , soluția aproximativă ar tinde către soluția exactă dorită a ecuației . [2] $ax=u$ $Ax=u$ $x_{\delta}=R(u_{\delta},\alpha )$ $R(u_{\delta},\alpha )$ $u_{\delta )$ $u_{T}$ $\delta \to 0$ $x_{\delta )$ $x_{T}$ $Ax_{T}=u_{T}$

Operator de regularizare

Un operator care depinde de parametru se numește operator de regularizare pentru ecuație dacă are următoarele proprietăți: $R(u,\alpha )$ $\alfa$ $Ax=u$

Definit pentru oricine și oricine . $\alpha >0$ $u\în U$
Dacă , atunci există astfel încât pentru orice există astfel încât dacă , atunci , unde , , este o metrică în spațiu (adică distanța dintre vectori și ) și este o metrică în spațiu . $Ax_{T}=u_{T}$ $\alpha (\delta )$ $\varepsilon >0$ $\delta (\varepsilon )$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta})\leqslant \delta (\varepsilon)$ $\rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon$ $x_{\alpha }=R(u_{\delta},\alpha )$ $\alpha =\alpha (\delta )$ $\rho _{U}$ $U$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })$ $u_{T}$ $u_{\delta )$ $\rho _{F}$ $X$

Metoda de construire a operatorilor de regularizare

Pentru o clasă largă de ecuații , A. N. Tikhonov a arătat că soluția problemei minimizării funcționalei poate fi considerată ca rezultat al aplicării unui operator de regularizare care depinde de parametru . Funcționalul se numește stabilizator de sarcini . $ax=u$ $x_{{\alpha }}$ $M^{\alpha }\left[u_{\delta},x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta})+\alpha \Omega \left[ x\dreapta]$ $\alfa$ $x_{{\alpha }}=R_{{1}}(u_{{\delta }},\alpha )$ $\Omega \left[x\right]$ $ax=u$

Exemplu de aplicație

Să găsim o soluție normală (cea mai apropiată de origine) a sistemului de ecuații liniare cu o precizie corespunzătoare preciziei de setare a elementelor matricei și coloanei în cazul în care valorile elementelor matricei și ale coloanei de termeni liberi sunt date doar aproximativ. $X$ $AX=B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Enunțul problemei

Se consideră un sistem de ecuații liniare sub formă de matrice: . Să numim norme sferice de cantitate . Să notăm ca cunoscute valori aproximative ale elementelor matricei și coloanei . O matrice și o coloană vor fi numite o -aproximare a unei matrice și a unei coloane dacă inegalitățile sunt satisfăcute . Să introducem funcționalitatea . Teorema lui Tihonov reduce problema găsirii soluției normale aproximative a unui sistem de ecuații la găsirea elementului pe care această funcțională atinge valoarea minimă. $AX=B$ $\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{ j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^ {n}a_{ij}^{2}}}$ ${\tilde {A)], {\tilde {B)}$ $A$ $B$ ${\tilde {A}}$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $A$ $B$ $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$ $F(X,{\tilde {A)),{\tilde {B)})=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\ alfa \|X\|^{2}$ $AX=B$ $X^{\alpha )$

Teorema lui Tihonov

Fie matricea și coloana să îndeplinească condițiile care asigură compatibilitatea sistemului , este o soluție normală a acestui sistem, este o -aproximare a matricei , este o -aproximare a coloanei și sunt orice funcții crescătoare care tind spre zero la și astfel încât . Atunci pentru oricare există un număr pozitiv astfel încât pentru oricare și pentru orice care îndeplinește condiția , elementul care furnizează minimumul funcționalului satisface inegalitatea [3] [4] . $A$ $B$ $AX=B$ $X^{{0}}$ ${\tilde {A}}$ $\delta$ $A$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $B$ $\varepsilon \left(\delta \right)$ $\alpha \left(\delta \right)$ $\delta$ $\delta \rightarrow +0$ $\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$ $\varepsilon >0$ $\delta _{{0}}$ $\delta<\delta_{{0}}$ $\alfa$ ${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)})\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$ $X^{{\alpha ))$ ${\displaystyle F\left(X,{\tilde {A)),{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|} ^{2}+\alpha {\|X\|}^{2))$ $\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon$

Note

↑ Tikhonov A. N. Despre probleme prost puse ale algebrei liniare și o metodă stabilă pentru rezolvarea lor // DAN SSSR, 1965, v. 163, nr. 3, p. 591-594.
↑ Arsenin, 1974 , p. 264.
↑ Linear Algebra, 2004 , p. 100.
↑ Metode de rezolvare a problemelor prost puse, 1979 , p. 119.

Literatură

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Algebră liniară. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 p. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Tikhonov A. N. , Arsenin V. Ya. Metode de rezolvare a problemelor prost puse. - M. : Nauka, 1979. - 283 p.
Arsenin V. Ya. Metode ale fizicii matematice și funcții speciale. — M .: Nauka, 1974. — 430 p.