Metrica Hausdorff

Metrica Hausdorff este o metrică naturală definită pe mulțimea tuturor submulților compacte nevide ale unui spațiu metric . Astfel, metrica Hausdorff transformă mulțimea tuturor submulților compacte nevide ale unui spațiu metric într-un spațiu metric.

Aparent, prima mențiune a acestei metrici este conținută în cartea lui Hausdorff „Theory of Sets”, prima ediție din 1914. Doi ani mai târziu, aceeași metrică este descrisă în Cercul și mingea lui Blaschke , posibil independent, deoarece nu conține o referire la cartea lui Hausdorff.

Definiție

Fie și două submulțimi compacte nevide ale unui spațiu metric . Atunci distanța Hausdorff, , între și este numărul minim astfel încât vecinătatea închisă conține și , de asemenea, vecinătatea închisă conține . $X$ $Y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $r$ $r$ $X$ $Y$ $r$ $Y$ $X$

Note

Cu alte cuvinte, dacă denotă distanța dintre puncte și apoi $|xy|$ $X$ $y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{{x\in X}}\inf _{{y\in Y}}|xy|,\;\sup _{ {y\în Y}}\inf _{{x\în X}}|xy|\right\}.$

Definiție echivalentă: $d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _ {Y}(m)|\,\dreapta\},$

unde denota functia distanta fata de multime .

\mathrm {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R}

X

Proprietăți

Să notăm mulțimea tuturor submulților compacte nevide ale unui spațiu metric cu metrica Hausdorff: $F(M)$ $M$

Topologia spațiului este complet definită de topologie . $F(M)$ $M$
(teorema alegerii lui Blashke) este compactă dacă și numai dacă . $F(M)$ $M$
$F(M)$ completă dacă și numai dacă este completă. $M$

Variații și generalizări

Uneori, metrica Hausdorff este considerată pe mulțimea tuturor submulților închise ale unui spațiu metric, caz în care distanța dintre unele submulțimi poate fi infinită.
Uneori, metrica Hausdorff este considerată pe mulțimea tuturor submulților unui spațiu metric. În acest caz, este doar o pseudo -metrică și nu este o metrică, deoarece „distanța” dintre diferite submulțimi poate fi zero.
În geometria euclidiană , metrica Hausdorff este adesea aplicată până la congruență . Fie și două submulțimi compacte ale spațiului euclidian, atunci este determinată cel puțin de toate mișcările spațiului euclidian . Strict vorbind, această metrică este pe spațiul claselor de congruență a submulților compacte ale spațiului euclidian. $X$ $Y$ $D_{H}(X,\;Y)$ $d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr ))$ $eu$
Metrica Gromov-Hausdorff este similară cu metrica Hausdorff până la congruență . Se transformă mulțimea (de clase izometrice) de spații metrice compacte într-un spațiu metric.

Note

Literatură

Blaschke . Cercul și mingea . - M .: Nauka, 1967.
Skvortsov V. A. Exemple de spații metrice // Biblioteca de educație matematică Arhivată 12 ianuarie 2014 la Wayback Machine . - 2001. - Numărul 9.
Hausdorff „Teoria seturilor”