Funcție analitică multivalorică

O funcție analitică multivalorică este o funcție complexă multivalorică obținută prin continuarea analitică de-a lungul tuturor căilor.

Un element analitic este o pereche , unde ( pentru funcțiile mai multor variabile) este un domeniu în , și o funcție analitică cu o singură valoare în acest domeniu. $(F,f)$ $F\subset {\widehat {\mathbb {C} }}$ $F\subset \mathbb {C} ^{n}$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$ $f$

Două elemente analitice și se numesc continuare analitică directă unul a celuilalt prin domeniul dacă intersecția este nevidă și pe una dintre componentele conexe ale intersecției funcției și sunt egale. $(F,f)$ $(G,g)$ $\Delta$ $F\cap G$ $\Delta \subset F\cap G$ $f$ $g$

Un element analitic se numește continuare analitică a unui element printr-un lanț de domenii dacă există un astfel de lanț de elemente încât fiecare element este o continuare analitică directă a elementului printr-un domeniu . $(F_{n},f_{n})$ $(F_{0},f_{0})$ $\Delta _{1},\ldots,\Delta _{n)$ $(F_{1},f_{1}),\ldots ,(F_{n-1},f_{n-1})$ $(F_{i},f_{i})$ $(F_{i-1}, f_{i-1})$ $\Delta _{i}$

O relație de echivalență poate fi definită între elemente pe baza conceptului de continuare analitică. Vom considera un element echivalent cu un element dacă este o continuare analitică a lui . Este ușor de demonstrat că această relație este o relație de echivalență. Conform acestei relații de echivalență, mulțimea tuturor elementelor analitice poate fi împărțită în clase de echivalență. Aceste aceleași clase de echivalență sunt numite funcții analitice complete. Să scriem o definiție riguroasă. $(F,f)$ $(G,g)$ $(G,g)$ $(F,f)$

O funcție analitică completă a unei variabile complexe este un set nevid de elemente analitice, astfel încât pentru orice element analitic din mulțime, toate celelalte sunt continuarea sa analitică și orice element care este o continuare analitică este inclus în acest set. $(F,f)$ $(F,f)$

Analiticitatea poate fi definită într-o anumită zonă. O funcție $A$ analitică dintr-un domeniu este un set de elemente analitice astfel încât: $(F_{\alpha },f_{\alpha })$

Toate $F_{\alpha }\subset A$
$\bigcup _{\alpha }F_{\alpha }=A$
Pentru orice element, orice alt element este o continuare analitică printr-un lanț de regiuni aflate în el $(F,f)$ $(G,g)$ $(F,f)$ $A$
Pentru orice element , orice alt element , care este o continuare analitică printr - un lanț de regiuni aflate în , este inclus în mulțime $(F,f)$ $(G,g)$ $(F,f)$ $A$

Un element inclus în acest set se numește element al unei funcții analitice. Această definiție este identificată cu o funcție multivalorică în sensul următor. Valoarea unei funcții analitice într-un punct este valoarea tuturor funcțiilor elementelor din acest punct pentru care punctul este inclus în mulțimea corespunzătoare. $A$ $A$