Polinoame Polachek

Polinoamele Polachek sunt o secvență de polinoame care au fost considerate de Polachek în 1950. $P_{n}^{\lambda}(x;\varphi),\;\lambda >0,\;0<\varphi <\pi ,\;n=\{0,1,...\ }$

Definiție recursiva

$P_{-1}^{\lambda}=0$

$P_{0}^{\lambda }=1$

$nP_{n}^{\lambda}-2\left((n-1+\lambda)\cos \varphi +x\sin \varphi \right)P_{n-1}^{\lambda}+ (n-2+2\lambda )P_{n-2}^{\lambda }=0$

Proprietăți

Polinoamele simetrice Polachek sunt ortogonale pe toată axa reală cu greutate: $\left(P_{n}^{\lambda}(x;\pi /2)\right)$

{\frac {1}{2\pi }}{\frac {2^{2\lambda }}{\Gamma (2\lambda )}}{|\Gamma (\lambda +ix)|}^ {2}

, unde este funcția gamma Euler

\Gamma

Un analog al formulelor Rodrigues pentru polinoamele Polachek:

P_{n}^{\lambda}(x;\pi /2)G(\lambda,x)={\frac {{-1}^{n}}{n!)}}\delta ^ { n}G\stanga(\lambda +{\frac {n}{2}}\dreapta)

, unde este o funcție meromorfă și este un operator de diferențe finite

G(\lambda,x)={\frac {\Gamma (\lambda +ix)}{\Gamma (1-\lambda +ix)))e^{\pi x)

\delta

(\delta F)(x)=F\left(x+{\frac {i}{2}}\right)-F\left(x-{\frac {i}{2}}\right)

Literatură

V. N. Sorokin. Polinoame Polachek generalizate // Math. Sâmbătă - 2009. - T. 200 , Nr. 4 . - S. 113-130 . (Rusă)

Polinoame ortogonale
polinoame Bessel Polinoame Gegenbauer polinoame Kravchuk polinoame Laguerre Polinoame Legendre Polinoame Polachek polinoame Rogers polinoame Zernike Polinoamele Cebyshev polinoame Charlier Polinoame Hermite polinoame Jacobi