Model Lotka-Volterra

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 martie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Modelul Lotka-Volterra (modelul Lotka-Volterra [1] ) este un model de interacțiune tip prădător-pradă numit după autorii săi ( Lotka , 1925 ; Volterra 1926 ), care au propus ecuații model independent unul de celălalt.

Astfel de ecuații pot fi folosite pentru a modela sistemele prădător-pradă , parazit - gazdă, competiție și alte forme de interacțiune între două specii [2] .

În formă matematică, sistemul propus are următoarea formă:

{\frac {dx}{dt}}=(\alpha -\beta y)x

{\frac {dy}{dt}}=(-\gamma +\delta x)y

unde este numărul de victime, este numărul de prădători, este timpul și sunt coeficienți care reflectă interacțiunile dintre specii. $X$ $y$ $t$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$

Rezolvarea unui sistem de ecuații

Enunțul problemei

Se consideră o zonă închisă, în care trăiesc două specii - ierbivore („victime”) și prădători. Se presupune că animalele nu imigrează sau emigrează și că există o abundență de hrană pentru ierbivore. Atunci ecuația pentru modificarea numărului de victime (excluzând prădătorii) ia forma:

{\frac {dx}{dt}}=\alpha x

unde este rata natalității victimelor, este dimensiunea populației victimelor, este rata de creștere a populației victimelor. $\alfa$ $X$ ${\tfrac {dx}{dt)}$

În timp ce prădătorii nu vânează, ei mor, prin urmare, ecuația pentru numărul de prădători (fără a lua în considerare numărul de pradă) ia forma:

{\frac {dy}{dt}}=-\gamma y

unde este coeficientul de pierdere a prădătorilor, este mărimea populației de prădători, este rata de creștere a populației de prădători. $\gamma$ $y$ ${\tfrac {dy}{dt))$

Când prădătorii și prada se întâlnesc (a căror frecvență este direct proporțională cu valoarea ), prada este ucisă cu un coeficient , în timp ce prădătorii bine hrăniți sunt capabili să se reproducă cu un coeficient . Având în vedere acest lucru, sistemul de ecuații al modelului este următorul: $X y$ $\beta$ $\delta$

{\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy=(\alpha -\beta y)x\\{\dfrac {dy}{dt}}= -\gamma y+\delta xy=(\delta x-\gamma )y\end{cases}}

Rezolvarea problemei

Găsirea poziției staționare a sistemului

Pentru o poziție staționară , modificarea mărimii populației este zero. Prin urmare: ${\bar {x}}>0,{\bar {y}}>0$

\alpha {\bar {x}}-\beta {\bar {x}}{\bar {y}}=0

-\gamma {\bar {y}}+\delta {\bar {x}}{\bar {y}}=0

din care rezultă că punctul staționar al sistemului în jurul căruia au loc oscilațiile se determină după cum urmează:

{\bar {x}}={\frac {\gamma }{\delta }}

{\bar {y}}={\frac {\alpha }{\beta }}

. Specificarea abaterii în sistem

La introducerea oscilațiilor și în sistem , datorită dimensiunilor reduse, pătratele, cuburile și puterile ulterioare ( ) ale acestora pot fi neglijate. Astfel, populațiile și cu abateri mici sunt descrise prin următoarele expresii: ${\tilde {x}}\ll {\bar {x}}$ ${\tilde {y}}\ll {\bar {y}}$ ${\tilde {x}}^{n}$ $X$ $y$

x={\bar {x}}+{\tilde {x}}

y={\bar {y}}+{\tilde {y}}

Aplicându-le la ecuațiile modelului, rezultă:

{\frac {d{\tilde {x}}}{dt}}=-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}{\tilde {y}}

{\frac {d{\tilde {y}}}{dt}}={\frac {\delta \alpha }{\beta }}{\tilde {x}}

Diferențierea uneia dintre aceste ecuații și înlocuirea în cealaltă dă următorul rezultat:

{\frac {d^{2}{\tilde {x}}}{dt^{2}}}=-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}{\frac {\delta \alpha } {\beta }}{\tilde {x}}=-\alpha \gamma {\tilde {x}}

{\frac {d^{2}{\tilde {x}}}{dt^{2}}}+\alpha \gamma {\tilde {x}}=0

Expresia rezultată este ecuația proporțională a unui oscilator armonic cu perioadă . $T={\frac {2\pi }{{\sqrt {\alpha \gamma ))))$

Vezi și

Note

↑ P. V. Turchin. Prelegerea nr. 14. Dinamica populației Arhivat 9 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Odum, 1986

Link -uri

Dinamica populației
Cel mai simplu model prădător-pradă
Nicolas Bakaer, V.A. Volpert, D.M. Ediev: O scurtă istorie a dinamicii matematice a populației. 2021. ISBN 979-10-343-8016-9 . PDF .