Oscilator armonic

Oscilator armonic (în mecanica clasică ) - un sistem care, atunci când este scos din poziția sa de echilibru, experimentează acțiunea unei forțe de restabilire F proporțională cu deplasarea x :

F=-kx

unde k este un coeficient constant.

Dacă F este singura forță care acționează asupra sistemului, atunci sistemul se numește oscilator armonic simplu sau conservator . Oscilațiile libere ale unui astfel de sistem reprezintă o mișcare periodică în jurul poziției de echilibru (oscilații armonice). Frecvența și amplitudinea sunt constante, iar frecvența nu depinde de amplitudine.

Dacă există și o forță de frecare ( atenuare ), proporțională cu viteza de mișcare ( frecare vâscoasă ), atunci un astfel de sistem se numește oscilator amortizat sau disipativ . Dacă frecarea nu este prea mare, atunci sistemul efectuează o mișcare aproape periodică - oscilații sinusoidale cu o frecvență constantă și o amplitudine în scădere exponențială. Frecvența oscilațiilor libere ale unui oscilator amortizat se dovedește a fi oarecum mai mică decât cea a unui oscilator similar fără frecare.

Dacă oscilatorul este lăsat singur, atunci se spune că efectuează oscilații libere . Dacă există o forță externă (în funcție de timp), atunci se spune că oscilatorul experimentează oscilații forțate .

Exemple mecanice de oscilator armonic sunt pendulul matematic (cu unghiuri mici de deformare), o greutate pe un arc , un pendul de torsiune și sistemele acustice. Dintre analogii nemecanici ai oscilatorului armonic, se poate evidenția oscilatorul armonic electric (vezi circuitul LC ).

Oscilații libere ale unui oscilator armonic conservator

Ecuația și soluțiile sale

Fie x deplasarea unui punct material în raport cu poziția sa de echilibru și F forța de restabilire care acționează asupra punctului de orice natură a formei

F=-kx

unde k = const. Apoi, folosind a doua lege a lui Newton , se poate scrie accelerația ca

a=-{\frac {k}{m}}x

Notând și înlocuind a cu derivata a doua a coordonatei în raport cu timpul , avem ${\omega _{0}}^{2}=k/m$ ${\ddot x}$

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Această ecuație diferențială descrie comportamentul unui oscilator armonic conservator. Mărimea se numește frecvență ciclică . (Acest lucru se referă la frecvența circulară, măsurată în radiani pe secundă. Pentru a o converti la o frecvență exprimată în herți , trebuie împărțită la .) $\omega_0$ $2\pi$

Vom căuta o soluție la această ecuație sub forma [1]

x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)

Aici este amplitudinea, este frecvența de oscilație, este faza inițială . $A$ $\omega$ $\varphi$

Inlocuim in ecuatia diferentiala si obtinem:

{\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )

-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )+\omega _{0}^{2}A\sin(\omega t+\varphi )=0

Amplitudinea este redusă. Aceasta înseamnă că poate avea orice valoare (inclusiv zero - aceasta înseamnă că punctul material este în repaus în poziția de echilibru). Sinusul poate fi de asemenea redus, deoarece egalitatea trebuie să fie valabilă în orice moment t . Astfel, condiția pentru frecvența de oscilație rămâne:

-\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,

\omega =\pm \omega _{0}.

Frecvența negativă poate fi eliminată, deoarece arbitraritatea în alegerea semnului aici este acoperită de arbitraritatea în alegerea fazei inițiale.

Rezolvarea generală a ecuației se scrie astfel:

x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right),

unde și sunt constante arbitrare. Această intrare epuizează toate soluțiile ecuației diferențiale, deoarece permite îndeplinirea oricăror condiții inițiale. $A$ $\varphi$

Ca urmare, un oscilator armonic conservator poate efectua oscilații pur armonice cu o frecvență egală cu propria sa frecvență , cu o amplitudine de orice magnitudine și cu o fază inițială arbitrară.

Mișcare armonică simplă

Mișcarea efectuată de un oscilator armonic conservator se numește mișcare armonică simplă . Această mișcare nu este nici forțată , nici amortizată .

Este periodică: corpul oscilează cu o frecvență ω 0 în jurul poziției de echilibru după o lege sinusoidală . Fiecare oscilație ulterioară este aceeași cu cea anterioară; perioada , frecvența și amplitudinea oscilațiilor rămân constante.

Având în vedere asta , obținem $\omega_0 = 2\pi f_0$

f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m)}}

și, deoarece , unde este perioada de oscilație, $T_{0}=1/f_{0}$ $T_{0}$

T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k)}}

Aceste formule arată că perioada și frecvența nu depind de amplitudinea și faza inițială a mișcării.

Frecvența mișcării este determinată de proprietățile caracteristice ale sistemului (de exemplu, masa corpului în mișcare), în timp ce amplitudinea și faza inițială sunt determinate de condițiile inițiale - coordonatele și viteza corpului în momentul oscilațiilor. ÎNCEPE. De aceste proprietăți și condiții depind și energiile cinetice și potențiale ale sistemului.

Folosind metodele de calcul diferențial , puteți obține viteza și accelerația unui punct material în funcție de timp:

v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))=A\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\varphi )

a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}=-A\omega _{0}^{2}\ sin(\omega _{0}t+\varphi )

Energia cinetică se scrie ca

K={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{ 0}t+\varphi )

iar energia potenţială este

U={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{ 0}t+\varphi )

Apoi se dovedește că energia totală

E={\frac {1}{2}}kA^{2}

are o valoare permanentă. Aceasta reflectă „conservatorismul” oscilatorului, adică absența pierderilor de energie.

Mișcarea armonică simplă poate fi considerată un model matematic al diferitelor tipuri de mișcare, cum ar fi oscilația unui arc . Alte cazuri care pot fi considerate în general mișcări armonice simple sunt mișcarea unui pendul și vibrațiile moleculelor .

Mișcarea armonică simplă stă la baza unor moduri de analiză a unor tipuri mai complexe de mișcare. Una dintre aceste metode se bazează pe transformata Fourier , a cărei esență este descompunerea unui tip mai complex de mișcare într-o serie de mișcări armonice simple.

Exemple de oscilatoare

Orice sistem în care apare o mișcare armonică simplă are două proprietăți cheie:

atunci când sistemul este în dezechilibru, trebuie să existe o forță de restabilire care tinde să readucă sistemul în echilibru;
forța de restabilire trebuie să fie exact sau aproximativ proporțională cu deplasarea.

Mai jos sunt câteva exemple.

Sistem orizontal de sarcină-arc

Un exemplu tipic de sistem în care apare o mișcare armonică simplă este un sistem idealizat de masă-arc în care o masă este atașată la un arc și este plasată pe o suprafață orizontală. Dacă arcul nu este comprimat și nu este întins, atunci nicio forță variabilă nu acționează asupra sarcinii și se află într-o stare de echilibru mecanic. Totuși, dacă sarcina este îndepărtată din poziția de echilibru, arcul este deformat și o forță va acționa din partea sa, având tendința de a readuce sarcina în poziția de echilibru. În cazul unui sistem sarcină-arc, o astfel de forță este forța elastică a arcului, care respectă legea lui Hooke :

F=-kx

unde k are o semnificație foarte specifică - acesta este coeficientul de rigiditate a arcului .

Odată ce sarcina deplasată este supusă acțiunii unei forțe de restabilire, accelerând-o și având tendința de a o întoarce la punctul de plecare, adică la poziția de echilibru. Pe măsură ce sarcina se apropie de poziția de echilibru, forța de restabilire scade și tinde spre zero. Totuși, în poziția x = 0 , sarcina are o anumită mișcare ( impuls ), dobândită datorită acțiunii forței de restabilire. Prin urmare, sarcina omite poziția de echilibru, începând din nou să deformeze arcul (dar în direcția opusă). Forța de restabilire va tinde să o încetinească până când viteza este zero; iar forța va căuta din nou să readucă sarcina în poziția sa de echilibru.

Dacă nu există pierderi de energie, sarcina va oscila așa cum este descris mai sus; această mișcare este periodică.

Sistem vertical de sarcină-arc

În cazul unei sarcini suspendate vertical pe un arc, împreună cu forța elastică, acționează gravitația, adică forța totală va fi

F=-kx-mg

Dacă facem o schimbare de variabilă pentru a opera nu cu valoarea ci cu valoarea , atunci ecuația mișcării va lua forma identică cu cazul geometriei orizontale, doar pentru variabila . $X$ $X=x+mg/k$ $X$

Oscilațiile vor avea loc cu aceeași frecvență . Totuși, dacă în cazul orizontal starea unui arc nedeformat corespundea echilibrului, atunci în varianta verticală arcul aflat în echilibru va fi întins. În acest caz, nu există nicio dependență a frecvenței de mărimea accelerației de cădere liberă ; afectează doar deplasarea poziţiei de echilibru . $\omega _{0}={\sqrt {k/m)}$ $g$ $g$ $mg/k$

Măsurătorile frecvenței (sau perioadei) oscilațiilor unei sarcini pe un arc sunt utilizate în dispozitivele pentru determinarea masei unui corp - așa-numitele contoare de masă , utilizate la stațiile spațiale atunci când cântarul nu poate funcționa din cauza imponderabilității.

Mișcare circulară universală

Mișcarea armonică simplă poate fi considerată în unele cazuri ca o proiecție unidimensională a mișcării circulare universale.

Dacă un obiect se mișcă cu o viteză unghiulară constantă ω de-a lungul unui cerc cu raza r centrat pe originea planului x - y , atunci o astfel de mișcare de-a lungul fiecărei axe de coordonate este armonică simplă cu amplitudinea r și frecvența circulară ω .

Greutate ca un simplu pendul

În aproximarea unghiurilor mici , mișcarea unui pendul simplu este aproape de armonică simplă. Perioada de oscilație a unui astfel de pendul, atașat la o tijă de lungime ℓ , este dată de formula

T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell {g}}}

unde g este accelerația de cădere liberă. Aceasta arată că perioada de oscilație nu depinde de amplitudinea și masa pendulului, ci depinde de g , prin urmare, cu aceeași lungime a pendulului, acesta se va oscila mai lent pe Lună, deoarece gravitația este mai slabă acolo și valoarea accelerației în cădere liberă este mai mică.

Aproximația specificată este corectă numai la unghiuri mici de deviere, deoarece expresia accelerației unghiulare este proporțională cu sinusul coordonatei:

-\ell mg\sin \theta =I {\ddot {\theta })

unde I este momentul de inerție ; în acest caz I = m ℓ 2 . Unghiurile mici sunt realizate în condițiile în care amplitudinea oscilației este mult mai mică decât lungimea tijei. Prezența unui minus reflectă faptul că forța tinde să apropie corpul de poziția de echilibru.

Când unghiul θ este mic, putem presupune că sin θ ≈ θ , iar expresia devine:

-\ell mg\theta =I {\ddot {\theta })

ceea ce face ca accelerația unghiulară să fie direct proporțională cu unghiul θ și aceasta satisface definiția mișcării armonice simple.

Vibrații libere ale unui oscilator armonic amortizat

Ecuația și soluțiile sale

Când se consideră un oscilator amortizat, se ia ca bază modelul unui oscilator conservator, la care se adaugă forța de frecare vâscoasă. Forța de frecare vâscoasă este îndreptată împotriva vitezei sarcinii față de mediu și este direct proporțională cu această viteză. Apoi, forța totală care acționează asupra sarcinii se scrie după cum urmează:

F=-kx-\alpha v.

Folosind a doua lege a lui Newton, obținem o ecuație diferențială care descrie un oscilator amortizat:

{\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Iată notațiile:

$2\gamma =\alpha /m$ . Coeficientul se numește constantă de amortizare. Are dimensiunea frecvenței. $\gamma$
$\omega _{0}={\sqrt {k \over m))$ . Mărimea se numește frecvența naturală a sistemului. Are și dimensiunea frecvenței. $\omega_0$

Soluția se încadrează în trei cazuri.

La frecare scăzută ( ), soluția generală se scrie astfel: $\gamma <\omega _{0}$

x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega _{f}t+\varphi),

unde este frecvența oscilațiilor libere. $\omega _{f}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))}$

Atenuarea se numește critică . Plecând de la această valoare a indicelui de amortizare, oscilatorul va efectua așa-numita mișcare neoscilativă. În cazul limită, mișcarea are loc conform legii: $\gamma =\omega _{0}$

\ x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.

Cu o frecare puternică, soluția arată astfel: $\gamma >\omega _{0}$

x(t)=Ae^{-\beta _{1}t}+Be^{-\beta _{2}t},

Unde $\beta _{1,2}=\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2))}.$

Mișcare în prezența decolorării

Natura mișcării unui oscilator amortizat depinde de constanta de amortizare . Pe lângă constanta indicată, amortizarea unui oscilator este adesea caracterizată de un parametru adimensional numit factor de calitate . Factorul de calitate este de obicei notat cu litera . Prin definiție, factorul de calitate este: $\gamma$ $Q$

Q={\frac {\omega _{0}}{2\gamma }}.

Cu cât factorul de calitate este mai mare, cu atât oscilațiile oscilatorului sunt mai lente.

Amortizarea critică este de remarcat prin faptul că tocmai la o astfel de amortizare oscilatorul se găsește cel mai repede în poziția de echilibru. Dacă frecarea este mai mică decât critică, va ajunge mai repede la poziția de echilibru, cu toate acestea, va „aluneca” prin inerție și va oscila. Dacă frecarea este mai mare decât cea critică, atunci oscilatorul va tinde exponențial către poziția de echilibru, dar cu cât este mai lentă, cu atât frecarea este mai mare. $\gamma =\omega _{0}$

Prin urmare, în indicatorii indicatori (de exemplu, în ampermetre), de obicei încearcă să introducă o atenuare critică precisă, astfel încât săgeata să se calmeze cât mai repede posibil pentru a-și citi citirile.

Un oscilator cu amortizare critică are un factor de calitate de 0,5. În consecință, factorul de calitate indică natura comportamentului oscilatorului. Dacă factorul de calitate este mai mare de 0,5, atunci mișcarea liberă a oscilatorului este o oscilație; teoretic, în timp, va traversa poziţia de echilibru de un număr nelimitat de ori. Un factor de calitate mai mic sau egal cu 0,5 corespunde mișcării neoscilatorii a oscilatorului; în mișcare liberă, va traversa poziția de echilibru cel mult o dată.

Factorul de calitate se numește uneori câștigul oscilatorului, deoarece cu unele metode de excitare, atunci când frecvența de excitare coincide cu frecvența de rezonanță a oscilațiilor, amplitudinea lor este setată aproximativ de ori mai mare decât atunci când sunt excitate cu aceeași intensitate la o frecvență joasă. $Q$

De asemenea, factorul de calitate este aproximativ egal cu numărul de cicluri oscilatorii, pentru care amplitudinea oscilațiilor scade cu un factor de . $e$ $\pi$

În cazul mișcării oscilatorii, atenuarea este caracterizată și de parametri precum:

Durata de viață a oscilațiilor (este și timpul de dezintegrare , este și timpul de relaxare ) τ este timpul în care amplitudinea oscilațiilor va scădea de e ori.

\tau=1/\gamma .

Acest timp este considerat ca fiind timpul necesar pentru amortizarea (încetarea) oscilațiilor (deși, formal, oscilațiile libere continuă la nesfârșit).

Scădere logaritmică de amortizare . Este definit ca logaritmul raportului a două abateri maxime consecutive într-o direcție: reciproca lui d este numărul de oscilații care vor trece în timpul de dezintegrare τ . $d=\operatorname {ln}(x_{{{\text{max}}\;n}}/x_{{{\text{max}}\;n+1}}).$

O notă despre oscilațiile forțate ale unui oscilator armonic

Oscilațiile unui oscilator se numesc forțate atunci când se exercită o influență externă suplimentară asupra acestuia. Aceasta influenta poate fi produsa prin diverse mijloace si dupa diverse legi. De exemplu, excitația forței este efectul asupra sarcinii de către o forță care depinde numai de timp conform unei anumite legi. Excitația cinematică este acțiunea asupra oscilatorului prin mișcarea punctului de fixare a arcului conform unei legi date. Efectul frecării este posibil și atunci când, de exemplu, mediul cu care sarcina suferă frecare se mișcă conform unei legi date.

Vezi și

Note

↑ Rezolvarea ecuației diferențiale de mai sus poate fi scrisă folosind funcția sinus: $x(t)=A\sin(\omega t+\varphi )$ , și prin cosinus: $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi )$ . Ambele opțiuni sunt corecte, deoarece egalitatea generală cos θ = sin(π/2 - θ) este cunoscută . Folosind relații trigonometrice , se poate scrie $A\cos(\omega t+\varphi )=A\cos(\varphi )\cos(\omega t)-A\sin(\varphi )\sin(\omega t),$ și, astfel $a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ este, de asemenea, soluția corectă pentru constantele a și b alese corespunzător .

Literatură

Butikov EI Oscilații naturale ale unui oscilator liniar. Tutorial