Teoria Thomas-Fermi

Teoria Thomas-Fermi ( modelul Thomas-Fermi ) este o teorie mecanică cuantică a structurii electronice a unui sistem cu mai multe corpuri, dezvoltată folosind aproximarea semiclasică la scurt timp după descoperirea ecuației Schrödinger de către Enrico Fermi și Luellin Thomas [1] [ 1] 2] . Nu se bazează pe funcția de undă , ci este formulată în termeni de densitate electronică și este privită ca un precursor al teoriei funcționale moderne a densității . Modelul Thomas-Fermi este corect doar în limita sarcinii nucleare infinite. Folosind această aproximare pentru sisteme reale, teoria oferă predicții cantitative slabe și nici măcar nu este capabilă să reproducă unele caracteristici comune, cum ar fi densitatea structurii învelișului atomilor și oscilațiile Friedel în solide. Și-a găsit însă aplicații în multe domenii datorită capacității sale de a obține un comportament calitativ corect analitic și ușurinței cu care poate fi rezolvat. Expresia Thomas-Fermi pentru energia cinetică este, de asemenea, utilizată ca o componentă a unei aproximări mai complexe a densității energiei cinetice în teoriile funcționale moderne ale densității , unde orbitalii pot fi renunțați .

Energia cinetică

Pentru un element de volum mic ΔV și pentru un atom în starea fundamentală, putem completa în spațiul momentului sferic volumul V f până la impulsul Fermi p f , și astfel [3]

V_{f}={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}}),

unde este punctul din ΔV . $\vec{r}$

Spațiul de fază corespunzător are volum

\Delta V_{ph}=V_{f}\ \Delta V={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}})\\ Delta V.

Electronii din ΔV ph sunt distribuiți uniform, cu doi electroni în h 3 din acest volum de spațiu de fază, unde h este constanta lui Planck. [4] Atunci numărul de electroni în ΔV ph va fi

\Delta N_{ph}={\frac {2}{h^{3}}}\ \Delta V_{ph}={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{ f}^{3}({\vec {r)))\ \Delta V.

Numărul de electroni în ΔV :

\Delta N=n({\vec {r))}\\Delta V,

unde este densitatea electronilor. $n({\vec {r)})$

Echivalând numărul de electroni în ΔV și în ΔV ph , obținem

n({\vec {r)})={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{f}^{3}({\vec {r}}).

Fracția de electroni în a căror impuls se află între momentele p și p+dp este ${\vec {r))$

{\begin{aligned}F_{\vec {r}}(p)dp&={\frac {4\pi p^{2}dp}{{\frac {4}{3}}\pi p_ {f}^{3}({\vec {r))))}\qquad \qquad p\leq p_{f}({\vec {r)))\\&=0\qquad \qquad \qquad \ quad {\text{otherwise}}\\\end{aliniat}}

Folosind expresia clasică pentru energia cinetică a unui electron cu masa m e , energia cinetică pe unitatea de volum în pentru electronii unui atom ${\vec {r))$

{\begin{aligned}t({\vec {r)})&=\int {\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ n({\vec {r}} )\ F_{\vec {r}}(p)\ dp\\&=n({\vec {r}})\int _{0}^{p_{f}({\vec {r}}) }{\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ \ {\frac {4\pi p^{2}}{{\frac {4}{3}}\pi p_{f} ^{3}({\vec {r))))}\ dp\\&=C_{F}\ [n({\vec {r)))]^{5/3},\end{aliniat} }

unde a fost folosită expresia anterioară, relaționând și și $n({\vec {r)})$ $p_{f}({\vec {r)})$

C_{F}={\frac {3h^{2}}{10m_{e}}}\left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{\frac {2} {3}}.

Integrarea energiei cinetice pe unitatea de volum pe întreg spațiul duce la energia cinetică totală a electronilor: [5] $t({\vec {r)})$

T=C_{F}\int [n({\vec {r)})]^{5/3}\ d^{3}r\ .

Acest rezultat arată că energia cinetică totală a electronilor poate fi exprimată numai în termeni de densitate de electroni dependentă spațial conform modelului Thomas-Fermi. Prin urmare, ei au putut calcula energia unui atom folosind această expresie pentru energia cinetică, combinată cu expresiile clasice pentru interacțiuni nuclear-electron și electron-electron (care pot fi reprezentate ca densitate de electroni). $n({\vec {r)})$

Energie potențială

Energia potențială a electronilor unui atom datorită atracției electrice a unui nucleu încărcat pozitiv:

U_{eN}=\int n({\vec {r)))\ V_{N}({\vec {r)))\ d^{3}r,

unde este energia potențială a unui electron într-un punct situat în câmpul electric al nucleului. În cazul în care nucleul este într-un punct (sarcina nucleului este Ze , unde Z este un număr natural, e este sarcina elementară ): $V_{N}({\vec {r))}$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=0$

V_{N}({\vec {r)})={\frac {-Ze^{2}}{r}}.

Energia potențială a electronilor datorită respingerii lor electrice reciproce este

U_{ee}={\frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}} \,')}{\left\vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.

Energia totală

Energia totală a electronilor este egală cu suma energiilor lor cinetice și potențiale: [6]

{\begin{aligned}E&=T\ +\ U_{eN}\ +\ U_{ee}\\&=C_{F}\int [n({\vec {r))}]^{ 5/3}\ d^{3}r\ +\int n({\vec {r)))\ V_{N}({\vec {r)))\ d^{3}r\ +\ { \frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}}\,')}{\left\ vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.\\\end{aligned}}

Note

↑ Thomas, LH Calculul câmpurilor atomice (nedefinite) // Proc. Cambridge Phil. Soc .. - 1927. - T. 23 , nr 5 . - S. 542-548 . - doi : 10.1017/S0305004100011683 . - Cod biblic .
↑ Fermi, Enrico. Un Metodo Statistico per la Determinazione di alcune Prioprietà dell'Atomo (italiană) // Rend. Accad. Naz. Lincei: diario. - 1927. - V. 6 . - P. 602-607 . Arhivat din original pe 15 decembrie 2019.
↑ martie 1992, p.24
↑ Parr și Yang 1989, p.47
↑ martie 1983, p. 5, Ec. unsprezece
↑ martie 1983, p. 6, Ec. cincisprezece

Literatură

R. G. Parr și W. Yang. Teoria densitate-funcțională a atomilor și moleculelor . - New York: Oxford University Press , 1989. - ISBN 978-0-19-509276-9 .
NH martie. Teoria densității electronice a atomilor și moleculelor . - Academic Press , 1992. - ISBN 978-0-12-470525-8 .
NH martie. 1. Origins - The Thomas-Fermi Theory // Theory of The Inhomogeneous Electron Gas (nespecificated) / S. Lundqvist and NH March. - Plenum Press , 1983. - ISBN 978-0-306-41207-3 .