Scoruri M

Estimările de probabilitate maximă (MLE) sunt determinate de una dintre următoarele condiții:

\sum _{i}\ln P_{i}\la \max _{\theta \in \Theta},\qquad \sum _{i}{\frac {\partial \ln P_{i)} {\partial \theta }}=0,\qquad \sum _{i}{\frac {P_{i}'}{P_{i}}}=0

unde, în cazul unui eșantion negrupat și în cazul unui eșantion grupat , $P_{i}=f(x_{i},\theta )$ $P_{i}=\left(\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x,\theta)\,\mathrm {d} x\right)^ {n_{i}}$

Estimări M - există o anumită generalizare a ADM. Ele sunt definite în mod similar de una dintre relațiile:

$\sum _{i=1}^{N}\rho (x_{i},\theta)\la \max _{\theta \in \Theta},\qquad \sum _{i=1} ^{N}\phi (x_{i},\theta )=0$

Dacă impunem o condiție de regularitate în substituție și o diferențiem față de 0: $F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta _{x}$ $t$

0={\frac {\partial }{\partial {t))}\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} F_{t,x}

0=\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x})}}{\partial \theta }}DAC\,\mathrm {d} F_{t,x} +\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} {\frac {\partial ((1-t)F+t\Delta _{x})}{\ t parțial}}

0=IF\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x})}}{\partial \theta }}\,\mathrm {d} F_{t,x} +\phi (x,T(F_{t,x}))

atunci nu este dificil de obținut expresia funcției de influență pentru estimările M : $IF={\frac {-\phi (x)}{\int \phi '_{\theta}(x)\,\mathrm {d} F))$

Această expresie ne permite să concluzionăm că estimările M sunt echivalente cu un factor constant diferit de zero.

Este ușor de verificat că pentru MLE a legii standard de distribuție normală, funcțiile de influență ale parametrului de schimbare și, respectiv, ale parametrului de scară arată: ${\mathcal {N}}(0,1)$ $IF$

IF=x,\quad IF={\frac {1}{2}}\;x^{2}-{\frac {1}{2}}

Aceste funcții sunt nelimitate, ceea ce înseamnă că MLE nu este robust în ceea ce privește robustețea B.

Pentru a corecta acest lucru, estimările M limitează artificial și, prin urmare, o limitează (a se vedea expresia pentru estimările M), stabilind o barieră superioară asupra influenței observațiilor aberante (departe de valorile așteptate ale parametrilor). Acest lucru se realizează prin introducerea așa-numitelor estimări M trunchiate , definite prin expresia: $IF$ $IF$

$\phi _{b}(z)=\left\{{\begin{array}{lr}\phi (b),&b<z\\\phi (z),&-b<z\leqslant b\\\phi (-b),&z\leqslant -b\end{array}}\right.$

unde , și sunt estimări ale parametrilor de deplasare și, respectiv, de scară. $z={\frac {x-\theta }{S}}$ $\theta$ $S$

Dintre estimările M trunchiate, MLE trunchiate sunt optime din punctul de vedere al robusteții B.

Vezi și

Robustețe în statistică

Surse

Robert G. Staudte: Estimare și testare robuste . Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
Rand R. Wilcox: Introducere în estimarea robustă și testarea ipotezelor . Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3