Inegalitatea lui Bernstein (analiza matematică)

Inegalitatea lui Bernstein raportează norma derivatei unui polinom cu norma polinomului însuși.

Formulare

Fie un polinom trigonometric cu valori reale de grad , atunci: $f_n$ $n$

\|f_{n}'\|_{\infty }\leqslant n\cdot \|f_{n}\|_{\infty )

Inegalitatea cu o constantă a fost stabilită de matematicianul rus Serghei Natanovici Bernstein în 1912. $2n$
Un rafinament a fost obţinut de Edmund Landau , care a dovedit inegalitatea cu o constantă optimă . $n$
În 1914, Marcel Ries a extins această din urmă inegalitate la cazul polinoamelor trigonometrice cu coeficienți complexi arbitrari.
A. Sigmund în 1933 l-a transferat în spații $L^{p}$ cu : $p\geqslant 1$ $\|f_n'\|_p \leqslant n\|f_n\|_p$ .
V. V. Arestov în 1979 a dovedit valabilitatea inegalităţii şi pentru . $0<p<1$
În plus, așa-numitele inegalități Bernstein pentru diferite metrici ale formei

\|f_n'\|_p \leqslant C(n, p) \|f_n\|_\infty