Inegalitatea lui Loyasevici

Inegalitatea lui Lojasiewicz este o inegalitate stabilită de matematicianul polonez Stanisław Lojasiewicz ( poloneză: Stanisław Łojasiewicz ), care oferă o limită superioară a distanței de la un punct dintr-o mulțime compactă arbitrară la setul de nivel zero al unei funcții analitice reale a multor variabile. . Această inegalitate și-a găsit aplicații în diferite ramuri ale matematicii, inclusiv geometria algebrică reală, analiză și teoria ecuațiilor diferențiale [1] [2] .

Formulare

Fie funcția analitică reală pe o mulțime deschisă nevide și fie mulțimea de zerouri a funcției . Dacă mulțimea este nevidă , atunci pentru orice mulțime compactă nevidă există constante și astfel încât inegalitatea $f:U\la \mathbb{R}$ $U\subset \mathbb{R} ^{n}$ $Z=\{x\in U:f(x)=0\}$ $f$ $Z$ $K\subset U$ $\alpha \geq 2$ $C>0$

\inf _{{z\in Z}}|xz|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,

al căror număr poate fi destul de mare. $\alfa$

În plus, pentru orice punct există o vecinătate suficient de mică a acestuia și astfel de constante și , încât inegalitatea celui de-al doilea Loyasevich să fie valabil ː $p\în U$ $W\subset U$ $0<\beta<1$ $C>0$

|f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.

Din a doua inegalitate rezultă în mod evident că pentru fiecare punct critic al unei funcții analitice reale există o vecinătate astfel încât funcția să ia aceeași valoare în toate punctele critice din această vecinătate.

Literatură

Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II , Lojasiewicz inequalities and applications, arXiv:1402.5087 Arhivat la 21 ianuarie 2022 la Wayback Machine
Malgrange B. Idealurile funcţiilor diferenţiabile. — M.: Mir, 1968.
Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets , Publications Mathématiques de l'IHÉS (nr. 67): 5–42, MR : 972342 , ISSN 1618-1913 , < http://www. numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0 > Arhivat 8 august 2014 la Wayback Machine
Ji, Shanyu; Kollár, János & Shiffman, Bernard (1992), A global Łojasiewicz inequality for algebraic varieties , Transactions of the American Mathematical Society vol . 329 (2 ) : 813–818 , MR : 1046016 , < http://www.ams.org /journals/tran/1992-329-02/S0002-9947-1992-1046016-6/ > Arhivat 1 noiembrie 2015 la Wayback Machine

Inegalitatea lui Loyasevici

Formulare

Literatură

Note