Inegalitatea Erdős-Mordell

Inegalitatea Erdős -Mordell ( inegalitatea Erdős-Mordell-Barrow ) este o afirmație planimetrică care stabilește o legătură între distanțele de la un punct din interiorul unui triunghi la laturile sale cu distanțele de la același punct la vârfurile triunghiului.

Inegalitate

Lăsați punctul să se afle în interiorul triunghiului . Să notăm distanțele de la punct la laturile triunghiului ca , iar distanțele de la punct la vârfuri ca . Apoi $M$ $ABC$ $M$ $BC, CA, AB$ $d_a, d_b, d_c$ $M$ $A,B,C$ $R_a, R_b, R_c$

R_a+R_b+R_c\geqslant 2 (d_a+d_b+d_c).

Istorie

Erdős a prezentat această afirmație ca ipoteză în 1935 ( Erdős 1935 ). Mordell a dat o dovadă doi ani mai târziu ( Mordell & Barrow 1937 ). Cu toate acestea, dovada lui a fost foarte dificilă. Demonstrații mai simple sunt date în ( Kazarinoff 1957 ), ( Bankoff 1958 ) și ( Alsina & Nelsen 2007 ).

Link -uri

A. Egorov. Triunghiuri și inegalități // Kvant . - 2005. - Nr 2 . - S. 32-33 .
Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), A visual proof of the Erdős-Mordell inequality , Forum Geometricorum vol . 7: 99–102 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711index.html > Arhivat pe 16 iulie 2020 la Wayback Machine
Bankoff, Leon (1958), O demonstrație elementară a teoremei Erdős-Mordell, American Mathematical Monthly vol . 65 (7): 521
Erdős, Paul (1935), Problema 3740, American Mathematical Monthly vol . 42: 396
Kazarinoff, DK (1957), A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles , Michigan Mathematical Journal vol . 4 (2): 97–98 , DOI 10.1307/mmj/1028988998
Mordell, LJ & Barrow, D.F. (1937), Solution to 3740, American Mathematical Monthly vol . 44: 252–254