Inegalitatea triunghiului roșu

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 mai 2019; verificările necesită 3 modificări .

Inegalitatea triunghiului Rouge conectează toate seturile de diferențe perechi de trei mulțimi dintr-un grup arbitrar .

Formulare

Să fie un grup și . $(G,+)$ $U,V,W\subset G$

Apoi , unde . $|U|\cdot |VW|\leq |VU|\cdot |UW|$ $AB=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Inegalitatea triunghiulară cu adunare

Mai există o inegalitate [1] similară cu inegalitatea triunghiului Rouge, care, totuși, este mai greu de demonstrat decât cea clasică - folosind inegalitatea Plünnecke-Rouge , care ea însăși este demonstrată folosind inegalitatea clasică Rouge.

|U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|

Dovada

Luați în considerare o funcție definită ca . Apoi pentru fiecare imagine există cel puțin diferite imagini inverse ale formei . Aceasta înseamnă că numărul total de preimagini nu este mai mic de . Mijloace, $\varphi:(VU)\times (UW)\to (VW)$ $\varphi (x,y)=x+y$ $vw\in VW$ $|U|$ $(vu,uw),u\in U$ $|VW||U|$ $|U||VW|\leq |VU||UW|$

O analogie cu inegalitatea triunghiului

Considerăm o funcție [2] [3] care definește „distanța dintre mulțimi” în termenii diferenței Minkowski:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|AB|}{\sqrt {|A||B|))))$

Această funcție nu este o metrică , deoarece egalitatea nu este valabilă pentru ea , dar este evident simetrică, iar inegalitatea lui Rouge implică direct inegalitatea triunghiului pentru aceasta: $\rho (A,A)=0$