Cartier

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 23 februarie 2022; verificările necesită 2 modificări .

O vecinătate a unui punct este o mulțime care conține punctul dat și aproape (într-un anumit sens) de acesta. În diferite ramuri ale matematicii , acest concept este definit în moduri diferite.

Definiții

Analiză matematică

Fie un număr fix arbitrar. $\varepsilon >0$

Vecinătatea unui punct de pe dreapta reală (uneori numită vecinătate) este mulțimea de puncte care sunt mai mici decât , adică . $x_{0}$ $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$ $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$

În cazul multidimensional, funcția de vecinătate este realizată de o bilă deschisă centrată în punctul . $\varepsilon$ $x_{0}$

Într -un spațiu Banach, o vecinătate centrată într-un punct se numește mulțime . $(B,\|\cdot\|)$ $x_{0}$ $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}$

Într -un spațiu metric, o vecinătate centrată într-un punct se numește mulțime . $(M,\rho)$ $y$ $A=\{x\în M:\rho(x,y)<\varepsilon\}$

Topologie generală

Fie dat un spațiu topologic , unde este o mulțime arbitrară și este o topologie definită pe . $(X,{\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$

O mulțime se numește vecinătate a unui punct dacă există o mulțime deschisă astfel încât . $V\subset X$ $x\în X$ $U\în \mathcal{T}$ $x \in U \subset V$
În mod similar, o vecinătate a unei mulțimi este o mulțime astfel încât să existe o mulțime deschisă pentru care . $M\subset X$ $V\subset X$ $U\în \mathcal{T}$ $M \subset U \subset V$

Note

Definițiile de mai sus nu necesită ca un cartier să fie un set deschis, ci doar să conțină un set deschis . Unii autori insistă că orice cartier este deschis. [1] Atunci o vecinătate a unui set este orice set deschis care îl conține. Aceasta nu este o diferență fundamentală pentru dezvoltarea unei teorii topologice ulterioare. Cu toate acestea, în fiecare caz este important să se stabilească terminologia. $V$ $U$
O vecinătate a unui set de puncte este o mulțime astfel încât există o vecinătate a oricărui punct . $M$ $V$ $V$ $x\în M$

Exemplu

Să fie dată o linie reală cu topologie standard . Apoi este un cartier deschis și este o vecinătate închisă a punctului . $(-1,2)$ $[-1,2]$ $0$

Variații și generalizări

Cartier Pierced

O vecinătate perforată a unui punct este o vecinătate a unui punct din care acest punct este exclus.

Strict vorbind, un cartier perforat nu este o vecinătate a unui punct, deoarece conform definiției unui cartier, un cartier trebuie să includă punctul în sine.

Definiție formală: O mulțime se numește vecinătate perforată (vecinătate perforată) a unui punct dacă $\dot{V}$ $x\în X$

\dot{V} = V \setminus \{x\},

unde este cartierul . $V$ $X$

Vezi și

Glosar de topologie generală

Note

↑ Rudin, 1975 , p. 13.

Literatură

Enciclopedie matematică. — M .: Enciclopedia Sovietică , 1984 . - T. 4.
W. Rudin. Analiza functionala. — M .: Mir , 1975 .