Matroida orientată

Un matroid direcționat este o structură matematică care generalizează proprietățile graficelor direcționate , aranjamentelor vectorilor într- un câmp ordonat și aranjamentelor hiperplanurilor într-un câmp ordonat, în același mod în care un matroid obișnuit generalizează proprietățile graficelor obișnuite , aranjamentelor vectorilor. , sau hiperplane într-un câmp obișnuit .

Notație

O mulțime orientată este o mulțime cu o partiție a elementelor sale în două submulțimi: o submulțime de „elemente pozitive” și o submulțime de „negative” - . $X$ ${\subline {X}}$ ${\displaystyle X^{+))$ $X^{-}$

Mulțimea se numește purtătoarea unei mulțimi orientate . ${\underline {X}}=X^{+}\cup X^{-}$ $X$

O mulțime orientată goală este o mulțime orientată cu suport (respectiv, cu o mulțime goală de elemente „pozitive” și un set gol de elemente „negative”). $\emptyset$ ${\subline {\emptyset ))$

O mulțime direcționată este opusul unei mulțimi direcționate dacă și . $Y$ $X$ $Y^{+}=X^{-}$ ${\displaystyle Y^{-}=X^{+))$

Definiție în termeni de cicluri

Un set de submulțimi orientate ale unei mulțimi va fi un set de cicluri ale unui matroid orientat dacă sunt valabile următoarele axiome: ${\mathcal {C}}$ $E$

(C0) , $\emptyset \notin {\mathcal {C)}$
(C1) , ${\mathcal {C}}=-{\mathcal {C}}$
(C2) pentru orice , dacă , atunci sau , $X,Y\in {\mathcal {C}}$ ${\underline {X}}\subseteq {\underline {Y}}$ $X=Y$ $X=-Y$
(C3) pentru orice , și există astfel încât și . $X,Y\in {\mathcal {C)),X\neq -Y$ $e\in X^{+}\cap Y^{-}$ $Z\in {\mathcal {C}}$ $Z^{+}\subseteq (X^{+}\cup Y^{+})\backslash \{e\}$ $Z^{-}\subseteq (X^{-}\cup Y^{-})\backslash \{e\}$

Bibliografie

Björner, A., Las Vergnas, M., Sturmfels, B., White, N. și Ziegler, G.M. (1999). Matroide orientate (Nr. 46). Cambridge University Press