Lema principală a calculului variațiilor

Lema principală a calculului variațiilor (sau lema lui Lagrange ) oferă o condiție integrală pentru o funcție care ne permite să concluzionăm că funcția este egală cu zero. Sunt cunoscute mai multe versiuni ale lemei; varianta de bază este ușor de formulat și demonstrat.

Versiunea de bază

Dacă o funcție continuă pe un interval deschis satisface egalitatea

f

(a,b)

\int \limits _{a}^{b}f(x)\cdot h(x)\cdot dx=0

pentru toate funcțiile netede finite pe , atunci este identic zero [1] [2] .

h

(a,b)

f

Note

Netezimea poate însemna că funcția este infinit diferențiabilă [1] , dar este mai frecvent interpretată ca că funcția este de două ori diferențiabilă continuu sau chiar diferențiabilă continuu sau chiar continuă [2] . $f$ $f$
Finititatea înseamnă că dispare în afara intervalului închis , dar adesea condiția ca (sau un număr de derivate ale sale) dispare la sfârșitul intervalului , în acest caz se presupune că este definită pe intervalul . $h$ $[c,d]\subset (a,b)$ $h$ $h$ $[a,b]$ $h$ $[a,b]$

Literatură

Jost, Jurgen și Li-Jost, Xianqing. Calculul variatiilor . - Universitatea Cambridge, 1998.
Gelfand, IM & Fomin, SV Calculul variațiilor. — Prentice-Hall, 1963.