Paradoxul lui D'Alembert

Paradoxul lui D' Alembert  ( paradoxul lui D'Alembert-Euler ) este o afirmație din hidrodinamica unui fluid ideal , conform căreia, într-un staționar (nu neapărat potențial [1] [2] și neseparat [1] [ 3] ) curgerea în jurul unui corp solid printr-un flux rectiliniu translațional nemărginit, lichidul de discrepanță, cu condiția ca parametrii să fie aliniați mult în fața și în spatele corpului, forța de tracțiune este zero.

Variații de nume pentru paradox

Alături de denumirea de paradoxul lui d'Alembert [4] în literatura științifică există și denumiri de paradox d'Alembert-Euler , paradoxul lui Euler-D'Alembert [5] [6] și paradoxul lui Euler [7] .

Context istoric

Sommerfeld [8] , referindu-se la Oseen , îl menționează pe Spinoza ca un cercetător timpuriu al paradoxului. Aparent, vorbim despre lucrarea „Fundamentele filozofiei lui Descartes, dovedite printr-o metodă geometrică”, în care Spinoza analizează condițiile în care „un corp, de exemplu, mâna noastră, s-ar putea deplasa în orice direcție cu o mișcare egală, fără contracarând cel puţin alte organe şi fără a întâmpina opoziţia altor organe” [9] . Într-un caz special de curgere în jurul unui corp simetric față de un plan transversal în interiorul unui canal, rezistența de dispariție a fost descoperită de d'Alembert în 1744 [10] . În termeni generali (pentru un corp de formă arbitrară), dispariția forței de rezistență a fost stabilită de Euler în 1745 [11] . Termenul de „ paradox ” a fost folosit pentru prima dată de d'Alembert în 1768 pentru a caracteriza rezistenţa în dispariţie [12] .

Diverse versiuni ale paradoxului lui d'Alembert

În virtutea principiului relativității lui Galileo, se poate vorbi și despre paradoxul lui d'Alembert în cazul mișcării rectilinie de translație a unui corp cu viteză constantă într-un volum infinit al unui fluid ideal, care se află în repaus la infinit.

În plus, paradoxul lui d'Alembert este valabil pentru un flux în jurul unui corp închis într-un canal cilindric infinit.

Caracteristici ale formulării paradoxului lui d'Alembert

Este important de menționat că formularea paradoxului se referă doar la absența unei componente a forței care acționează asupra corpului, care este paralelă cu curgerea la infinit (absența unei forțe de tracțiune ). Componenta forței care este perpendiculară pe flux ( lift ) poate fi diferită de zero chiar dacă sunt îndeplinite toate condițiile paradoxului (de exemplu, acesta este cazul problemelor bidimensionale: liftul este calculat folosind binecunoscutul Jukovsky formula ).

Să fim atenți la faptul că momentul forțelor care acționează asupra corpului din partea curgerii poate fi, în general, diferit de zero. Astfel, în cazul curgerii continue în jurul unei plăci înclinate față de curgere, chiar și la circulație cu viteză zero (și, în consecință, la forță de ridicare zero), apare un moment de forțe care tinde să rotească placa peste flux.

În prezența forțelor corpului (de exemplu, gravitația), corpul poate fi afectat de forța lui Arhimede , dar nu poate fi considerat o componentă a forței de rezistență, deoarece nu dispare într-un fluid în repaus.

Cazuri de încălcare a paradoxului d'Alembert

După cum se știe, atunci când un flux de fluid real curge în jurul unui corp, există întotdeauna o forță de rezistență diferită de zero, a cărei prezență se explică prin încălcarea anumitor condiții incluse în formularea paradoxului d'Alembert. În special,

• dacă fluidul nu este ideal (are o vâscozitate finită), poate apărea o forță de rezistență, direct sau indirect legată de acțiunea frecării vâscoase;
• dacă mișcarea unui corp într-un fluid nu este staționară, atunci chiar și în modelul unui fluid neviscid, apare o forță de rezistență inerțială, datorită faptului că atunci când corpul se mișcă cu o viteză variabilă, energia cinetică a fluidului înconjurător se modifică în timp;
• dacă fluxul nu este continuu (de exemplu, există suprafețe de discontinuitate în flux), atunci parametrii de curgere în față și în spatele corpului pot să nu se potrivească, ceea ce duce la o rezistență diferită de zero. Exemplele sunt
  • un corp într-un flux plat generând un lanț de vârtejuri concentrate în spatele lui ( modelul străzii vortex al lui Karman );
  • o aripă de anvergură finită, de pe care suprafața de discontinuitate a componentei tangențiale a vitezei coboară la infinit (așa-numita foaie de vortex); rezistența asociată acestui fenomen se numește inductivă;
  • formarea undelor de șoc în fluxul de gaz supersonic în jurul corpului;
• dacă fluidul nu ocupă tot spațiul din jurul corpului, atunci poate fi încălcat și paradoxul lui d'Alembert. Exemplele tipice sunt
  • formarea din spatele corpului a unei cavități care merge la infinit umplută cu un lichid în repaus (schema jetului Kirchhoff-Helmholtz curge, simulând cavitatea de cavitație);
  • formarea undelor pe suprafața unui lichid ( unde gravitaționale pe apă), a căror creare necesită costuri energetice, ceea ce duce la apariția rezistenței valurilor ; rezistența datorată apariției undelor interne atunci când un corp se mișcă într-un fluid stratificat (să zicem, la limita a două straturi fluide cu densități diferite) are o natură similară;
• dacă parametrii de curgere în față și în spatele corpului nu se egalizează, atunci forța de rezistență poate fi, de asemenea, diferită de zero. În special, acesta este cazul când energie termică este furnizată fluxului sau când se formează o regiune („urmă”) în spatele corpului, parametrii în care se deosebesc de parametrii din fluxul principal la infinit.

Rezultate experimentale

Dacă creăm condiții în care fluxul în jurul corpului va fi suficient de aproape de condițiile din formularea paradoxului d'Alembert, de exemplu, dăm corpului o formă raționalizată (în formă de picătură sau elipsoidală), atunci este posibil să să obțină o reducere semnificativă — de zeci și sute de ori — de tracțiune în comparație cu cea slab raționalizată (de exemplu, sub formă de cub) de corpuri cu aceeași secțiune mediană . Cele de mai sus se aplică fluxurilor la numere Reynolds mari ; în cazul opus al numerelor Reynolds mici (așa-numiții curenți târâtori ), rezistența corpurilor alungite în formă de picătură cu o suprafață mare poate fi, dimpotrivă, mai mare decât rezistența corpurilor „prost raționalizate”.

Când particulele se mișcă în solide , efectul „penetrării superprofunde” este cunoscut [13] . Una dintre explicațiile pentru acest efect este calitativ similară cu paradoxul d'Alembert: scăderea rezistenței se realizează datorită faptului că în anumite condiții impactul particulei asupra mediului ei este redus (canalul format în spatele particulei se prăbușește . 14] [15] , și există semnificativedeformații plastice [16] ).

Literatură

• Grimberg G., Pauls W., Frisch U. Genesis of d'Alembert's paradox and analytical elaboration of the drag problem  // Physica D. - 2008. - T. 237 .

Link -uri

• D'Alembert - Paradoxul Euler - articol din Marea Enciclopedie Sovietică . 

Vezi și

• Paradoxul Dubois

Note

1. ↑ 1 2 „Când se demonstrează paradoxul d’Alembert, în general, nu se presupune că mișcarea unui lichid este potențială și că nu există cavități finite în lichidul umplut cu gaz, vapori sau lichid” ( Sedov L.I. Continuum Mechanics . - M . : Nauka, 1970. - T. 2. - S. 74. - 568 p. ).
2. ↑ Cherny G. G. Dinamica gazelor . - M . : Nauka, 1988. - S. 118-120. — 424 p. — ISBN 5-02-013814-2 .
3. ↑ „Dacă cavitatea ar avea o lungime finită, atunci, pe baza proprietății binecunoscute a unei mișcări de rotație constante <...>, forța de rezistență care acționează din partea fluidului asupra corpului împreună cu cavitatea ar fi egală cu zero și, prin urmare, ar fi egal cu zero și cu forța de rezistență care acționează asupra corpului ”( Batchelor J. Introduction to fluid dynamics / Tradus din engleză sub redacția lui G. Yu. Stepanov . - M . : Mir, 1973. - P. 614. - 760 p. ).
4. ↑ Sedov, p. 71.
5. ↑ Negru, p. 120.
6. ↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Hidromecanica teoretică . - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 1. - 584 p.
7. ↑ Chaplygin S. A. Rezultatele studiilor teoretice privind mișcarea avioanelor // Lucrări alese. Mecanica lichidelor și gazelor. Matematica. Mecanica generala. - M .: Nauka, 1976. - S. 131-141 .
8. ↑ Sommerfeld A. Mecanica mediilor deformabile / Per. cu el. E. M. Lifshitz . - M. : IL , 1954. - S. 264. - 488 p.
9. ↑ Spinoza B. [libgen.org/book/index.php?md5=BC592FA6208C2CF7A4852EDBDD999B7C Lucrări alese în două volume] / Ed. generală. și intro. articol de V. V. Sokolov. - M .: Politizdat , 1957. - T. 1. - S. 256. - 632 p.  (link indisponibil)
10. ↑ Punctul 247 și fig. 77 în carte: D'Alembert. Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides . — 1744.
11. ↑ Euler L. Noi fundații pentru artilerie  // Ed. BN Okunev Cercetări în balistică. - M. : Fizmatlit, 1961. - S. 7-452 .
12. ↑ D'Alembert. Paradoxe proposé aux Géomètres sur la résistance des  fluides // Opuscules mathématiques. - Paris, 1768. - T. 5 . - S. 132-138 .
13. ↑ Kozorezov K. I., Maksimenko V. N., Usharenko S. M. Investigarea efectelor interacțiunii microparticulelor discrete cu un solid // Probleme selectate ale mecanicii moderne. - M. : Editura Moscovei. un-ta, 1981. - S. 115-119 .
14. ↑ Grigoryan S.S. Despre natura penetrării „superprofunde” a microparticulelor solide în materiale solide // DAN URSS. - 1987. - T. 292 , nr 6 . - S. 1319-1323 .
15. ↑ Cherny G.G. Mecanismul rezistenței anormal de scăzute în timpul mișcării corpurilor în medii solide // DAN SSSR. - 1987. - T. 292 , nr 6 . - S. 1324-1328 .
16. ↑ Kiselev S.P., Kiselev V.P. Despre mecanismul penetrării superprofunde a particulelor într-o barieră metalică  // Prikl. - 2000. - T. 41 , nr 2 . - S. 37-46 .