Planuri paralele

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 iulie 2018; verificările necesită 3 modificări .

Definiție

Clasic

Două plane se numesc paralele dacă nu au puncte comune. (Uneori planurile care coincid sunt considerate paralele, ceea ce simplifică formularea unor teoreme).

Analitic

Dacă planele și sunt paralele, atunci vectorii normali și sunt coliniari (și invers). Prin urmare, condiția $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ $N_{1}(A_{1},B_{1},C_{1})$ $N_{2}(A_{2},B_{2},C_{2})$

${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1 }}}$ [1] este o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul sau coincidența planurilor.

Proprietăți

Dacă două plane paralele sunt intersectate de o treime, atunci liniile de intersecție ale acestora sunt paralele;
Printr-un punct din afara unui plan dat se poate trasa un plan paralel cu cel dat, si mai mult, doar unul;
Segmentele de drepte paralele mărginite de două plane paralele sunt egale;
Două unghiuri cu laturile paralele și, respectiv, direcționate egal sunt egale și se află în planuri paralele.

Caracteristica

Dacă planul α este paralel cu fiecare dintre cele două drepte care se intersectează situate în celălalt plan β, atunci aceste plane sunt paralele.

Exemple

Planele și sunt paralele deoarece . $2x-3y-4z+11=0$ $-4x+6y+8z+36=0$ ${\frac {-4}{2}}={\frac {6}{-3}}={\frac {8}{-4}}$
Planele și nu sunt paralele, deoarece , și . $2x-3z-12=0(A_{1}=2,B_{1}=0,C_{1}=-3)$ $4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)$ $B_{1}=0$ $B_{2}\neq 0$

Notă

Dacă nu numai coeficienții la coordonate, ci și termenii liberi sunt proporționali, adică dacă [2] atunci planurile coincid. Deci ecuațiile reprezintă același plan . ${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}} ={\frac {D_{2}}{D_{1}}},$ $3x+7y+5z+4=0$ $6x+14y+10z+8=0$

Note

↑ la . Dacă , atunci . În mod similar pentru sau . $A_{1},B_{1},C_{1}\neq 0$ $A_{1}=0$ $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$ $B_{1}=0$ $C_{1}=0$
↑ la . Dacă , atunci . În mod similar pentru sau . $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}\neq 0$ $A_{1}=0$ $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}} {D_{1}}}$ $B_{1}=0,C_{1}=0$ $D_{1}=0$