Prima și a doua metodă Lyapunov

Toate metodele de studiere a stabilității, dezvoltate de A. M. Lyapunov în [1] , sunt împărțite de el în două metode (două categorii).

Prima metodă include toate metodele de studiu a stabilității, „care duc la un studiu direct al mișcării perturbate și care se bazează pe căutarea unor soluții generale sau particulare ale ecuațiilor diferențiale. În general, aceste soluții vor trebui căutate sub masca unor serii infinite. . . Aceasta este esența unei serii dispuse în puteri întregi pozitive ale constantelor arbitrare. Dar mai departe ne vom întâlni și cu niște serii de altă natură” [1] . Uneori, metoda de liniarizare este numită și prima metodă Lyapunov. Totuși, nu este așa: teoremele privind stabilitatea și instabilitatea asimptotică din prima aproximare pot fi dovedite prin aplicarea metodelor de studiu atât a primei, cât și a celei de-a doua metode Lyapunov. A. M. Lyapunov se referă la a doua metodă toate metodele de studiere a stabilității, care se bazează pe găsirea funcțiilor variabilelor u, t „conform unor condiții date care trebuie îndeplinite de derivatele lor totale în raport cu t, compilate sub ipoteza că” u = u(t ) este o funcție care satisface ecuația

ẋ = F(x, t). (unu)

A doua metodă Lyapunov este adesea numită metoda directă. De remarcat că înainte de Lyapunov, metode de studiere a stabilității legate atât de prima cât și de a doua metodă au fost folosite în cazuri speciale de către A. Poincaré în [2] . Așa cum însuși A. M. Lyapunov a remarcat în disertația sa [1] : „Deși Poincare se limitează la cazuri foarte speciale, metodele pe care le folosește permit aplicații mult mai generale și pot duce la mult mai multe rezultate noi. M-am ghidat după ideile conținute în memoriile numite [2] în majoritatea cercetărilor mele.

Prima metodă a lui Lyapunov i-a permis să obțină o serie de rezultate foarte profunde și importante. Ca exemplu, notăm teoria stabilității condiționate dezvoltată de el în lucrarea sa pe baza primei metode [1] . Unul dintre avantajele acestei metode este că funcționează în cazurile cele mai subtile și permite nu numai indicarea unei imagini calitative a fenomenului studiat, ci și construirea unei forme explicite a soluțiilor studiate. Lyapunov își bazează a doua metodă pe câteva teoreme de bază pe care le-a stabilit. Aceste teoreme s-au dovedit a fi atât de eficiente încât cu ajutorul lor a fost posibil să se rezolve problema stabilității în prima aproximare într-un mod excepțional de simplu. În același timp, au permis lui Lyapunov să ia în considerare câteva cazuri critice de bază când prima aproximare nu rezolvă problema stabilității. În prezent, dintre cele două metode, metoda directă Lyapunov este cea mai utilizată datorită simplității și eficienței sale.

Teoremele de stabilitate ale metodei directe (a doua) Lyapunov

Prezentăm aici teoreme privind stabilitatea soluției zero a unui sistem perturbat în spațiu în cazul special când acesta este autonom, adică are forma:

. (2)

Se presupune că , deci aceasta este o soluție a acestei ecuații. Ajungem la această problemă studiind stabilitatea echilibrului sistemului autonom

. (3)

Pentru orice funcție diferențiabilă continuu V(u) definită într-o vecinătate D a punctului 0 ꞓ R n , definim V derivata funcției V(u) prin ecuația diferențială (2), stabilind

. (patru)

Dacă u(t) este orice soluție a ecuației (2), atunci formula

. (5)

ceea ce confirmă oportunitatea definiţiei (4).

O funcție V(u) se numește semn pozitiv în D dacă V(0) = 0, V(u) ≥ 0 pentru toate și din domeniul său D (D este o vecinătate de zero în R n ). O funcție V(u) se numește definitiv pozitivă (sau definită pozitivă) dacă are semnul pozitiv u, în plus, V(u) > 0 pentru orice u ꞓ D diferit de 0.

Funcțiile semn-negative și definitiv negative sunt definite în mod similar.

Se spune că o funcție V este de semn constant dacă este de semn pozitiv sau negativ. O funcție V se numește definită de semn dacă este definită pozitiv sau definită negativ. Dacă funcția V ia atât valori pozitive, cât și negative în domeniul D, atunci în acest caz V se numește funcție alternativă.

Teoremele 1-4 de mai jos presupun că V(u) este o funcție diferențiabilă continuu definită într-o vecinătate D a punctului 0 ꞓ R n ; se foloseşte notaţia V'(u), care este derivata funcţiei V(u) în virtutea ecuaţiei diferenţiale (2).

Dacă există o funcţie sigur pozitivă V(u) a cărei derivată V'(u) are semn negativ, atunci u 0 (t) este o soluţie stabilă a ecuaţiei (2). Să existe o funcție sigur pozitivă V(u) a cărei derivată V'(u) este o funcție definitiv negativă. Atunci u 0 (t) este o soluție asimptotic stabilă a ecuației (2).

Dacă există o funcție definită pozitivă V(u) astfel încât V'(u) < 0 în afara lui M și V'(u) ≤ 0 pe M, unde M este o mulțime care nu conține traiectorii întregi ale ecuației (2) cu excepția punctul zero, atunci soluția zero u 0 (t) a ecuației (2) este stabilă asimptotic.

O funcție V(u) se numește infinit mare dacă pentru orice număr pozitiv K > 0 există R > 0 astfel încât |u| > R rezultă că |V(u)| >K.

Teorema 4 (cu privire la stabilitatea asimptotică în general [3] ). Dacă există o funcţie V(u) infinit pozitivă, a cărei derivată V'(u) este o funcţie negativă în întregul spaţiu, atunci soluţia zero u 0 (t) a ecuaţiei (2) este global asimptotic stabilă. Funcțiile care îndeplinesc teoremele 1-2 ale metodei directe Lyapunov se numesc funcții Lyapunov. Existența unei funcții Lyapunov corespunzătoare este o condiție suficientă pentru stabilitatea sau stabilitatea asimptotică a soluției.

Note

  1. ↑ 1 2 3 4 Lyapunov A. M. Problema generală a stabilității mișcării. — M.: Gostekhizdat, 1950.
  2. ↑ 1 2 Poincare A. Pe curbe definite prin ecuații diferențiale. M.: Gostekhizdat, 1947
  3. ↑ 1 2 Barbashin E. A. Introducere în teoria stabilității. - M., 1967.
  4. ↑ Krasovsky N. N. Câteva probleme ale teoriei stabilității mișcării. — M.: Gostekhizdat, 1959.

Literatură