Graficul semnalului tranzitoriu

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 octombrie 2020; verificările necesită 4 modificări .

Graficul de tranziție al semnalelor ( graficul de tranziție liniară , graficul liniar al semnalelor ; graficul de flux de semnal în engleză , SFG ), propus de Claude Shannon , dar adesea numit grafic Mason datorită lucrării sale asupra acestui termen - un grafic de flux specializat , în care vârfurile corespund unor variabile, iar muchiile conectează vârfurile incidente cu unele funcții. Mai formal: un grafic direcționat , al cărui vârf îi corespunde un semnal ( funcție de greutate ) , în funcție de semnalele (funcții de greutate) de la alte vârfuri. $i$ $a_{i}$

Graficele semnalelor tranzitorii sunt cel mai adesea folosite pentru a reprezenta fluxul de semnale într-un sistem fizic și controlerele acestuia care alcătuiesc un singur sistem ciber-fizic . De asemenea, utilizat în diverse rețele și amplificatoare electronice, filtre digitale, filtre de stare variabilă și unele tipuri de filtre analogice. În literatură, este obișnuit ca graficele de tranziție a semnalului să fie asociate cu un sistem de ecuații liniare .

Istorie

Wai-Kai Chen a scris: „Conceptul unui grafic de semnal de tranziție a fost dezvoltat de Shannon [1] în timp ce lucra cu computere analogice. Cea mai mare contribuție la dezvoltarea graficului semnalului de tranziție îi aparține lui Mason [2] [3] . El a arătat cum se utilizează graficul semnalului de tranziție pentru a rezolva unele probleme electronice complexe într-un mod relativ simplu. Termenul de graf tranzitoriu de semnal a fost folosit datorită aplicării sale originale la electronică și a asemănării sale cu semnalele electronice și diagramele bloc ale sistemelor studiate. [patru]

Lawrence a scris: „Înainte de lucrarea lui Mason, Shannon [1] a identificat o serie de proprietăți ale ceea ce este acum cunoscut sub numele de grafice de flux. Din păcate, documentul a fost inițial foarte limitat în clasificarea sa și foarte puțini oameni au avut acces la material.” [5]

„Regulile pentru calcularea determinantului graficului Mason au fost mai întâi date și demonstrate de Shannon folosind inducția matematică. Opera sa a rămas practic necunoscută chiar și după ce Mason și-a publicat lucrarea clasică în 1953. Trei ani mai târziu, Mason a redescoperit regulile și le-a dovedit uitându-se la valoarea determinantului și la modul în care se schimbă atunci când variabilele sunt adăugate la grafic. [...]"

Domeniul de aplicare

Robichaux și colab. definesc domeniul de aplicare al graficului semnalului de tranziție după cum urmează:

„Scopul de aplicare al metodelor dezvoltate este reprezentat de toate sistemele fizice similare acestor rețele [construite din transformatoare ideale, elemente active și giratoare]. Trent [6] a arătat că toate sistemele fizice care îndeplinesc următoarele condiții se încadrează în această categorie.

Sistemul final concentrat constă dintr-un număr de părți simple, fiecare dintre ele având proprietăți dinamice cunoscute care pot fi definite prin ecuații folosind două tipuri de variabile scalare și parametri de sistem. Variabilele de primul tip sunt mărimi care pot fi măsurate, cel puțin teoretic, prin atașarea unui dispozitiv de măsurare la două puncte de conectare ale unui element. Variabilele de al doilea tip caracterizează mărimile care pot fi măsurate prin conectarea contorului în serie la element. Vitezele și pozițiile relative, căderile de presiune și tensiunile sunt cantități tipice de primul tip, în timp ce curenții electrici, forțele, debitele de căldură sunt cantități de al doilea tip. [...]
Variabilele de primul tip trebuie să se supună unei legi similare regulii de stres Kirchhoff, în timp ce variabilele de al doilea tip trebuie să se supună unei legi similare regulii nodului Kirchhoff.
Dimensiunile fizice ale rezultatelor corespunzătoare ale calculelor variabilelor de ambele tipuri trebuie să fie consecvente. Pentru sistemele în care aceste condiții sunt îndeplinite, este posibil să se construiască un grafic liniare izomorf cu proprietățile dinamice ale sistemului descris de variabilele alese. Aceste metode [...] pot fi aplicate direct acestor grafice liniare, precum și rețelelor electrice, pentru a obține un grafic tranzitoriu al semnalelor sistemului.”

Fundamentele teoriei graficelor de flux

În graficul din figură, dependența funcțională a unui nod este indicată printr-o săgeată care intră în el, nodul care provoacă această dependență este începutul acestei săgeți, iar în cea mai generală formă, graficul fluxului de semnal indică doar prin săgețile de intrare. acele noduri care afectează procesarea în nodul receptor și la fiecare al i - lea nod, variabilele de intrare sunt procesate conform funcției asociate cu acel nod, de exemplu , Fi . Astfel, (a) reprezintă un set de relații explicite:

{\begin{aligned}x_{1}&={\text {variabilă independentă}}\\x_{2}&=F_{2}(x_{1},x_{3})\\x_{ 3}&=F_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\\\end{aliniat}}

Nodul x 1 este un nod izolat deoarece nicio săgeată nu intră în el; ecuațiile pentru x 2 și x 3 corespund graficelor prezentate la punctele (b) și (c) din figură.

Aceste relații definesc, pentru fiecare nod, o funcție care procesează intrările primite de nod. Fiecare nod non-sursă combină semnalele de intrare într-un fel și transmite semnalul rezultat pe fiecare ramură de ieșire. „Un grafic de flux, așa cum a fost definit inițial de Mason, implică un set de relații funcționale, fie că sunt liniare sau nu” [7] .

Cu toate acestea, graficele Mason sunt de obicei mai stricte, ceea ce înseamnă că fiecare nod însumează doar săgețile în care intră și că fiecare muchie este doar o funcție a nodului din care provine. În astfel de condiții, sistemul va fi scris după cum urmează:

{\begin{aligned}x_{1}&={\text{variabilă independentă}}\\x_{2}&=f_{21}(x_{1})+f_{23}(x_{3} })\\x_{3}&=f_{31}(x_{1})+f_{32}(x_{2})+f_{33}(x_{3})\\\end{aligned}}

Acum funcțiile pot fi asociate cu o margine a graficului de semnale care conectează o pereche de noduri , , în loc să definească funcții comune pentru fiecare nod. Contribuția unui nod la sine, de exemplu pentru , se numește buclă. Adesea, aceste funcții sunt pur și simplu coeficienți multiplicativi (deseori numiți transmitanțe sau câștiguri), de exemplu, unde - poate fi nu numai un scalar, ci și o funcție a unui parametru, cum ar fi variabila transformată Laplace . Diagramele fluxului de semnal sunt foarte des folosite cu semnalele transformate de Laplace deoarece sunt sisteme de ecuații diferențiale liniare. În acest caz, transmitanța este adesea denumită funcție de transfer. $f_{ij}$ $ij$ $x_{i}$ $x_{j}$ $f_{33)$ $x_{3}$ $f_{ij}(x_{j})=c_{ij}x_{j)$ $c$ $s$ $c(s)$

Selecția variabilei

Există mai multe modalități de a selecta variabile într-un sistem complex și pentru fiecare dintre ele se poate scrie un sistem de ecuații care poate fi reprezentat sub formă de grafic. Scrierea ecuațiilor este mult facilitată dacă există o metodă care vă permite să reprezentați direct din diagrama schematică a sistemului studiat. Structura graficelor astfel obținute este în mod evident legată de topologia diagramei schematice și chiar și o luare în considerare implicită a ecuațiilor devine inutilă. În unele cazuri, este suficient să reprezentați pur și simplu graficul de flux pe o diagramă schematică și să ajungeți la o soluție a problemei chiar și fără o imagine.

Non-unicitate

Un grafic al fluxului de semnal conține aceeași cantitate de informații ca și ecuațiile din care este derivat; dar nu există o corespondență unu-la-unu între grafic și sistemul de ecuații. Un sistem va produce diagrame diferite în funcție de ordinea în care sunt utilizate ecuațiile pentru a găsi variabila scrisă în partea stângă. [7] De exemplu, dacă fiecare ecuație leagă toate variabilele dependente, atunci există grafice posibile. [opt] $n$ $n!$

Graficul tranzitoriu liniar al semnalelor

Metodele grafice ale fluxului de semnal sunt aplicabile numai sistemelor liniare invariante în timp . La modelarea unui sistem de interes, primul pas este de obicei determinarea ecuațiilor care reprezintă funcționarea sistemului, indiferent de natura acestora. Apoi, pe baza acestui sistem de ecuații, se construiește graficul în sine.

Un grafic de semnal tranzitoriu liniar este format din noduri și ramuri direcționate ponderate. Nodurile sunt variabilele ecuațiilor, iar ponderile ramurilor sunt coeficienții. Semnalele pot circula de-a lungul ramurilor numai în direcția indicată de săgeată. Graficul poate reprezenta doar operații de înmulțire cu un coeficient și de adunare, care sunt suficiente pentru a reprezenta ecuațiile de conexiune. Când un semnal traversează o ramură în direcția specificată, semnalul este înmulțit cu greutatea ramurii. Când două sau mai multe ramuri merg la același nod, ieșirile lor sunt însumate.

Pentru sistemele descrise prin ecuații algebrice liniare sau diferențiale, graficul fluxului de semnal este echivalent matematic cu sistemul de ecuații care descrie sistemul. În acest caz, ecuațiile care definesc graficul pot fi găsite pentru fiecare nod prin însumarea ramurilor incluse în acest nod. Ramurile în sine transmit contribuțiile altor noduri, exprimate ca valoare a nodului sursă înmulțită cu greutatea ramurii de legătură, de obicei un număr real sau o funcție a unui parametru (de exemplu, variabila transformată Laplace). $s$

Choma, un membru al IEEE , a scris următoarele despre rețelele active liniare:

„Prin reprezentarea fluxului de semnal (sau „grafic” așa cum este numit în mod obișnuit), înțelegem o diagramă care, prin afișarea relațiilor algebrice dintre variabilele relevante și ramurile de rețea, reprezintă fără ambiguitate modul în care semnalul de intrare aplicat „curge” de la porturile de intrare la porturi.concluzie [...]” [9] .

Utilitatea analizei graficului fluxului de semnal a fost, de asemenea, descrisă de informaticianul Chen:

„Analiza unui sistem liniar se reduce în cele din urmă la rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Ca alternativă la metodele algebrice uzuale de rezolvare a unui sistem, se poate obține o soluție luând în considerare proprietățile anumitor grafice direcționate asociate sistemului. [...] Ecuațiile necunoscute corespund nodurilor grafului, în timp ce relațiile liniare dintre ele apar ca muchii direcționate care leagă nodurile. [...] Graficele direcționate conectate pot fi construite în multe cazuri direct prin privire la sistemul fizic fără a fi nevoie să formuleze mai întâi ecuațiile corespunzătoare” [10] .

Note

↑ 12 e.n. Shannon. Teoria și proiectarea mașinilor de ecuații diferențiale liniare (engleză) : jurnal. - Controlul focului al Comitetului de Cercetare pentru Apărare Națională din SUA: Raportul 411, Secțiunea D-2, 1942. - Ianuarie. Retipărit în Claude E. Shannon: Collected Papers / NJA Sloane; Aaron D. Wyner. - Wiley IEEE Press, 1993. - P. 514. - ISBN 978-0-7803-0434-5 .
↑ SJ Mason. Teoria feedback-ului - Unele proprietăți ale graficelor fluxului de semnal // Proceedings of the IRE. - 1953-09. - T. 41 , nr. 9 . — S. 1144–1156 . — ISSN 2162-6634 . - doi : 10.1109/JRPROC.1953.274449 . Arhivat 29 octombrie 2020.
↑ SJ Mason. Teoria feedback-ului-Alte proprietăți ale graficelor fluxului de semnal // Proceedings of the IRE. - 1956-07. - T. 44 , nr. 7 . — S. 920–926 . — ISSN 2162-6634 . - doi : 10.1109/JRPROC.1956.275147 . Arhivat din original pe 17 februarie 2022.
↑ Chen, Wai-Kai, 1936-. Teoria aplicată a graficelor: grafice și rețele electrice . - 2d rev. ed. Amsterdam: North-Holland Pub. Co., 1976. - 1 resursă online (xvi, 542 pagini) p. - ISBN 978-0-7204-2371-6 , 0-7204-2371-6, 978-1-4831-6415-1, 1-4831-6415-2.
↑ Lorens, Charles Stanton, Vogel, Dan. Raport Tehnic 317 - Teoria și aplicațiile graficelor de flux // Laboratorul de Cercetare de Electronică, MIT. Arhivat din original pe 6 martie 2021.
↑ Horace M. Trent. Izomorfisme între graficele liniare orientate și sistemele fizice concentrate // Acoustical Society of America Journal. - 1955. - Vol. 27 , iss. 3 . — P. 500 . — ISSN 0001-4966 . - doi : 10.1121/1.1907949 . Arhivat din original pe 24 octombrie 2019.
↑ 1 2 Louis PA Robichaud, Maurice Boisvert, Jean Robert. Grafice și aplicații ale fluxului de semnal . — 1962.
↑ Narsingh Deo. Teoria grafurilor cu aplicații în inginerie și informatică . - 2004. - ISBN 9788120301450 .
↑ J. Choma. Analiza fluxului de semnal al rețelelor de feedback // IEEE Transactions on Circuits and Systems. — 1990-04. - T. 37 , nr. 4 . — S. 455–463 . — ISSN 1558-1276 . - doi : 10.1109/31.52748 . Arhivat 30 octombrie 2020.
↑ Wai-Kai Chen. Teoria aplicată a grafurilor . - 1971. - ISBN 978-0444101051 . Arhivat pe 27 octombrie 2020 la Wayback Machine

Literatură

Karelin V. P., Kureichik V. M. Concepte de bază ale teoriei graficelor de tranziție liniară // Grafice orientate și automate finite / A. N. Melikhov. - M . : Nauka, 1971. - S. 196-211. — 416 p. — (Bazele teoretice ale ciberneticii tehnice). (p. 196-211 au fost scrise de V. P. Karelin și V. M. Kureichik la cererea autorului cărții A. N. Melikhov, vezi p. 196 a cărții)