Densitatea secvenței

Densitatea secvenței este conceptul de teorie generală a numerelor aditive , care studiază legile adunării secvențelor întregi de formă generală. Densitatea unei secvențe este o măsură a cât de mult din șirul tuturor numerelor naturale aparține unei anumite secvențe de numere întregi nenegative . Conceptul de densitate de secvență se referă la densitatea introdusă în 1930 de Schnirelmann (de unde și denumirea în limba engleză a termenului - densitate Schnirelmann) a secvenței A și anume: $A=\{a_{i}\}$ $0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots$ $d(A)$

d(A)=\inf _{n\in \mathbb {Z} _{+))(\pi _{A}(n)-1)/n

unde este numărul de membri ai secvenței care nu depășește . $\pi _{A}(n)$ $A$ $n$

Definiții înrudite

Fie suma aritmetică a șirurilor și , adică mulțimea . $A+B$ $A=\{a_{i}\}$ $B=\{b_{i}\}$ $A+B=\{c\in \mathbb {Z} _{+}|c=a+b,a\in A,b\in B\)$

Dacă ei cred , la fel , etc. $A=B$ $2A=A+A$ $3A=2A+A$

Dacă , atunci se numește o bază de ordinul al-lea . $nA=\mathbb {Z} _{+)$ $A$ $n$

Proprietăți

Densitatea dacă și numai dacă coincide cu mulțimea tuturor numerelor întregi nenegative. $d(A)=1$ $A$ $\Z_+$
inegalitatea lui Shnirelman

d(A+B)\geq d(A)+d(B)-d(A)d(B)

Inegalitatea Mann-Dyson

d(A+B)\geq\min\{d(A)+d(B),1\)

Din inegalitatea lui Shnirelman rezultă că orice succesiune de densitate pozitivă este o bază de ordin finit. Aplicarea acestui fapt la problemele aditive, în care secvențele de densitate zero sunt adesea însumate, se realizează prin pre-construirea unor noi secvențe cu densitate pozitivă din secvențe date. De exemplu, cu ajutorul metodelor de sită , se demonstrează că șirul , în care trece prin numerele prime , are o densitate pozitivă. Aceasta implică teorema lui Shnirelman : există un număr întreg astfel încât orice număr natural este suma a cel mult numere prime. Această teoremă oferă o soluție la așa-numitul. problema Goldbach slăbită . $\{p\}+\{p\}$ $p$ $c_{0}>0$ $c_{0}$

Variații și generalizări

O variație a conceptului de densitate a secvenței este conceptul de densitate asimptotică , un caz special al căruia este densitatea naturală .

Conceptul de densitate a secvenței este generalizat la secvențe numerice, altele decât seria naturală, de exemplu, la secvențe de numere întregi din câmpurile numerice algebrice. Ca rezultat, este posibil să se studieze bazele în câmpuri algebrice.