Suprafețe cu curbură medie constantă

Suprafețe cu curbură medie constantă — o clasă de suprafețe care modelează suprafețele peliculelor de săpun care separă zone cu o diferență de presiune fixă. În cazul particular, dacă presiunea este egală pe ambele părți, modelul determină suprafețele minime .

Definite ca suprafețe netede cu o curbură medie constantă .

Istoria cercetării

În 1841, Charles-Eugène Delaunay a demonstrat că singurele suprafețe de revoluție cu curbură medie constantă erau cele obținute prin rotirea curbelor obținute prin rularea conicilor. Acestea sunt plan, cilindru, sferă, catenoid , unduloid și nodoid . [unu]

În 1853, J. Gelle a arătat că, dacă o suprafață stelată compactă din B are o curbură medie constantă, atunci este o sferă standard. [2] Ulterior, Aleksandr Danilovici Aleksandrov a demonstrat că o suprafață compactă încorporată cu curbură medie constantă trebuie să fie o sferă. [3] $S$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $H\neq 0$
- Pe baza acestui fapt, Heinz Hopf a sugerat în 1956 că orice hipersuprafață orientabilă compactă imersată cu curbură medie constantă β trebuie să fie o sferă rotundă. $\mathbb {R} ^{n}$
- Această presupunere a fost respinsă în 1982 de Wu-Yi Xiang folosind un contraexemplu în . $\R^4$
- În 1984, Henry C. Wente a construit așa-numitul tor Wente , o scufundare într-un tor cu curbură medie constantă. [patru] $\mathbb {R} ^{3}$

Există metode pentru a construi un set de exemple. [5] În special, metodele de lipire fac posibilă combinarea arbitrară a suprafețelor cu curbură medie constantă. [6] [7] [8]

Mix a arătat că nu există suprafețe imbricate cu curbură medie constantă cu un capăt la . [9] Korevaar, Kusner și Solomon au demonstrat că capetele unei suprafețe complete încorporate sunt unduloide asimptotice . [zece] $\mathbb {R} ^{3}$

Aplicații

Pe lângă filmele de săpun, suprafețele cu curbură medie constantă apar ca interfețe gaz-lichid pe o suprafață superhidrofobă. [unsprezece]

În arhitectură, suprafețele cu curbură medie constantă sunt utilizate în structurile susținute de aer , cum ar fi cupole și incinte gonflabile și ca sursă de forme organice fluide. [12]

Note

↑ C. Delaunay, Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl. 6 (1841), 309-320.
↑ JH Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant, J. Math. Pures Appl. 18 (1853), 163-167
↑ AD Alexandrov, Teorema unicității pentru suprafețe în mare, V. Vestnik, Leningrad Univ. 13, 19 (1958), 5-8, Amer. Matematică. soc. Trans. (Seria 2) 21, 412-416.
↑ Wente, Henry C. (1986), Contraexemplu la o conjecture a lui H. Hopf. , Pacific Journal of Mathematics vol. 121: 193–243, doi : 10.2140/pjm.1986.121.193 , < http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702809 > Arhivat 10 iunie 2020 la Wayback Machine .
↑ Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B. Kusner, John M. Sullivan . Suprafețe coplanare de curbură medie constantă. Comm. Anal. Geom. 15:5 (2008) pp. 985-1023. ArXiv matematică.DG/0509210.
↑ N. Kapouleas. Suprafețe complete de curbură medie constantă în spațiul euclidian trei Arhivat la 29 ianuarie 2022 la Wayback Machine , Ann. de. Matematică. (2) 131 (1990), 239-330
↑ Rafe Mazzeo, Daniel Pollack, Gluing and Moduli for Noncompact Geometric Problems. 1996 arXiv: dg-ga/9601008
↑ I. Sterling și H.C. Wente, Existența și clasificarea multibubbletonurilor cu curbură medie constantă de tip finit și infinit Arhivat 22 mai 2019 la Wayback Machine , Indiana Univ. Matematică. J. 42 (1993), nr. 4, 1239-1266.
↑ Meeks WH, Topologia și geometria suprafețelor încorporate de curbură medie constantă , J. Diff. Geom. 27 (1988) 539-552.
↑ Korevaar N., Kusner R., Solomon B., The structure of complete embedded surfaces with constant mean curbature, J. Diff. Geom. 30 (1989) 465-503.
↑ EJ Lobaton, T. R. Salamon. Calculul suprafețelor cu curbură medie constantă: Aplicarea la interfața gaz-lichid a unui fluid presurizat pe o suprafață superhidrofobă. Journal of Coloid and Interface Science. Volumul 314, numărul 1, 1 octombrie 2007, paginile 184-198
↑ Helmut Pottmann, Yang Liu, Johannes Wallner, Alexander Bobenko, Wenping Wang. Geometria structurilor cu formă liberă multistrat pentru arhitectură. Tranzacții ACM pe grafică — Proceedings of ACM SIGGRAPH 2007 Volumul 26 Numărul 3, iulie 2007 Articolul Nr. 65