Suprafata Morina

Suprafața Morin este un model intermediar pentru eversia unei sfere , descoperit de Bernard Morin. Suprafața are o simetrie de rotație de patru ori .

Dacă sfera originală care urmează să fie întoarsă are exteriorul verde și interiorul roșu, atunci când se transformă sfera prin homotopie într-o suprafață Morin, jumătate din suprafața Morin vizibilă din exterior va fi verde și cealaltă jumătate roșie:

Jumătate din suprafața Morin corespunde suprafeței exterioare a sferei (verde),
cu care este homeomorfă, iar cealaltă jumătate simetrică corespunde suprafeței interioare a sferei (roșu).

Apoi, rotirea suprafeței cu 90° în jurul axei sale de simetrie îi va schimba culorile, adică va schimba polaritatea (interior-exterior) a suprafeței orientabile, astfel încât repetarea pașilor de homotopie se face din exact aceeași poziție în ordine inversă față de cea originală. sferă după rotirea suprafeței Morin va avea ca rezultat o sferă, a cărei latură exterioară este roșie și partea interioară este verde, adică la o sferă inversată. Mai jos sunt pașii pentru întoarcere:

1. sferă: verde în exterior, roșu în interior...
2. convertită în...
3. Suprafață Morin,
3'. suprafata Morin este rotita cu 90°...
2'. transformare inversă în...
1'. sferă: roșu în exterior, verde în interior.

Textura suprafeței lui Morin

Suprafața lui Morin poate fi împărțită în patru secțiuni congruente. Aceste secțiuni pot fi denumite aici Est, Sud, Vest și Nord, sau secțiunea 0, secțiunea 1, secțiunea 2 și, respectiv, secțiunea 3.

Secțiunea de est a suprafeței Morina.

Suprafața Morin are patru puncte prin care trece axa de simetrie. Aceste patru puncte sunt punctele de început și de sfârșit ale celor șase linii de puncte de ancorare. Fiecare dintre cele patru secțiuni este delimitată de trei dintre aceste linii de puncte nodale, astfel încât fiecare dintre cele patru secțiuni este homeomorfă unui triunghi. Secțiunea de est este acum reprezentată schematic: Figura arată secțiunea de est delimitată de cele trei bucle ABCDA, AEFGA și AHIJA. A treia buclă, AHIJA este linia punctelor de ancorare în care secțiunea de est se intersectează. Bucla ABCDA este linia hotspot-ului care leagă secțiunea de est de secțiunea de vest, iar bucla AEFGA este linia hotspot-ului care leagă secțiunea de est de secțiunea de sud. Punctul de aici se suprapune de fapt patru puncte diferite: .

${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3))$

Iată cum se raportează secțiunea de Est cu alte secțiuni: fiecare dintre buclele sale de delimitare să fie definită de 4 puncte ordonate, apoi

(A_{1},B,C,D,A_{3})=(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})

(A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})

(A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})

unde punctele fără contur aparțin secțiunii 0 (Est), punctele cu o singură contur aparțin secțiunii 1 (Sud), punctele cu două linii aparțin secțiunii 2 (Vest), iar punctele cu trei linii aparțin secțiunii 3 (Nord).

Celelalte trei bucle conectează secțiunile după cum urmează:

(A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})

(A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})

(A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{ unu}).

Secțiunea de est are, considerată în sine, o buclă de puncte de ancorare: AHIJA. Dacă suprafața este desfășurată, rezultatul plat va fi următorul: care este homeomorf unui triunghi:

Conectarea a patru secțiuni triunghiulare la cusăturile lor dă un tetraedru : care este homeomorf cu o sferă, aceasta arată că suprafața Morin este o sferă care se intersectează.

Galeria suprafețelor Morin

Patru vederi diferite ale suprafeței lui Morin: primele două sunt afișate cu „barierele de tranziție” decupate, ultimele două sunt vederi „de jos”.

Suprafața analitică a lui Morin

Suprafața Morin poate fi descrisă elegant printr-un set de ecuații [1] fie într-o versiune deschisă (cu poli la infinit) fie una închisă.

Galeria suprafețelor Morin

Vezi și

Eversiune sferă

Note

↑ Bednorz, Bednorz, 2017 .

Literatură

Adam Bednorz, Witold Bednorz. Eversiune a sferei analitice cu minim de evenimente topologice. — 2017.

Link -uri

„Turning a Sphere Inside Out” Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine
A History of Sphere Eversions Arhivat 11 iulie 2020 la Wayback Machine