Substituții lui Euler

Substituțiile lui Euler sunt substituții care reduc integralele de forma , unde este o funcție rațională, la integrale ale funcțiilor raționale. Propus de L. Euler în 1768 [1] [2] . $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx$ $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$

Înlocuiri

Prima înlocuire

Folosit când . Se înlocuiește următoarele: $a>0$
$\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm t \pm \sqrt{a}x$

A doua înlocuire

Folosit când . Se înlocuiește următoarele: $c>0$
$\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm xt \pm \sqrt{c}$

A treia înlocuire

Se folosește atunci când expresia radicală are două rădăcini reale. Înlocuirea se face: , unde este una dintre rădăcini [1] .
${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t(x-\lambda )$ $\lambda$

Fapte interesante

Potrivit memoriilor studentului lui Landau A. I. Akhiezer , el a fost extrem de negativ cu privire la utilizarea acestor substituții:

<...> el [Landau] mi-a sugerat să calculez <...> integrala unei fracții raționale. <...> Am calculat fără a folosi substituțiile standard lui Euler, iar asta m-a salvat, pentru că, după cum am înțeles mai târziu, Landau nu le tolera și credea că de fiecare dată este necesar să se folosească un fel de truc artificial, care, în de fapt, am făcut-o.

— Amintiri ale lui L. D. Landau [3]

Note

↑ 1 2 Înlocuirea lui Euler // Marea Enciclopedie Sovietică / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .: Enciclopedia Sovietică , 1978. - T. 29: Chagan - Aix-les-Bains. - S. 575. - 632.000 exemplare.
↑ Auctore Leonhardo Eulero. Institutionum calculi integralis . - Petropolis , 1768. - Vol. 1. - P. 57-61.
↑ Amintiri ale lui L. D. Landau / Ed. ed. acad. I. M. Khalatnikov. — Antologie. — M .: Nauka , 1988. — S. 49 . — 354 p. — 23.100 de exemplare. - ISBN 5-02-000091-4 .

Link -uri

I. M. Vinogradov. Substituția lui Euler // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)
Un exemplu de utilizare a substituțiilor lui Euler pe PlanetMath