Setați capacul

O acoperire în matematică este o familie de mulțimi astfel încât uniunea lor conține o mulțime dată.

Capacele sunt de obicei considerate în topologia generală , unde acoperirile deschise sunt de cel mai mare interes - familiile de seturi deschise . Acoperirile prin mulțimi convexe joacă un rol important în geometria combinatorie [1] .

Definiții

Să fie dat un set . O familie de seturi se numește acoperire dacă $X$ $C=\{U_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$ $X$

X\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.

Fie dat un spațiu topologic , unde este o mulțime arbitrară și este o topologie definită pe . Atunci o familie de seturi deschise se numește capacul deschis al unui set dacă $(X,{\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$ $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subseteq {\mathcal {T)}$ $Y\subseteq X$

Y\subseteq \bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }.

Dacă este o acoperire a unui set , atunci orice subset de , care este, de asemenea, o acoperire , se numește subcopertă . $C$ $Y$ $D\subset C$ $Y$
Dacă fiecare element al unui capac este un subset al unui element al celui de-al doilea înveliș, atunci se spune că primul capac este înscris în al doilea. Mai exact, o copertă este înscrisă într-o copertă dacă $D=\{V_{{\beta }}\}_{{\beta \in B}}$ $C=\{U_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$

\forall \beta \in B\;\există \alpha \in A

astfel încât

V_{\beta}\subseteq U_{\alpha }.

O acoperire de mulțime se numește local finită dacă pentru fiecare punct există o vecinătate care intersectează doar un număr finit de elemente , adică mulțimea este finită . $C=\{U_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$ $Y$ $y\în Y$ $U\niy$ $C$ $\{\alpha \in A\mid U_{{\alpha }}\cap U\not =\varnothing \}$
O acoperire a unei mulțimi se numește fundamentală dacă fiecare mulțime a cărei intersecție cu fiecare mulțime este deschisă în este de asemenea deschisă în . $C=\{U_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$ $Y$ $U\în C$ $U$ $Y$
$Y$ se numește compact dacă oricare dintre capacele sale deschise conține o subcopertă finită;
$Y$ se numește paracompact dacă oricare dintre capacele sale deschise poate fi înscrisă cu un capac deschis local finit .

Orice subcopertă este înscrisă în coperta originală. În general, invers nu este adevărat.

↑ Coperta set - articol Encyclopedia of Mathematics . A. V. Arkhangelsky, P. S. Soltan