Polinumerele

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 noiembrie 2017; verificările necesită 2 modificări .

Algebra polinumerelor este implementată de elemente de forma: $P_{n}$ $A\in P_{n}$

A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},

unde a este un set de generatoare care respectă următoarele reguli de multiplicare (înmulțirea este comutativă și asociativă): $A_{i}\in \mathbb {R} ,$ $e_{i}$ $P_{n}$

e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},

și el însuși este următorul obiect ( suma directă ):

P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R} } } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.

Polinumere (n-numere)

Este ușor de verificat că înmulțirea în algebra polinumerelor din baza aleasă se reduce la înmulțirea componentelor corespunzătoare, iar împărțirea este definită numai pentru polinumerele care au totul (din acest motiv, polinumerele nu formează un câmp numeric ). Unitatea algebrică are următoarea reprezentare în baza aleasă: $A_{i}\neq 0$

I=e_{1}+\dots +e_{n)

Există n-1 operații complexe de conjugare pe algebră . Una dintre ele poate fi definită prin următoarea regulă: $P_{n}$

A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n},

care se reduce la o permutare ciclică a componentelor polinumărului . Conjugarea k -a complexă poate fi definită prin formula : $A$

A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast }\quad

( - ori)

k

Este evident că $A^{(n)}=A.$

Luați în considerare un polinumăr al formei

N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},

(unu)

unde . $A\in P_{n}$

Este ușor de verificat că este real în sensul că $N(A)$

N(A)=r^{n}I,

unde .

r^{n}\în R

Numărul se numește (cvasi)normă a polinumărului . Cvasi-norma este exprimată în termeni de coordonatele polinumărului prin formula: $r$ $A$ $r$ $A$

r^{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}=G(A,A,\dots,A)

, (2)

unde este forma n $G$

G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)

, (3)

${\pălărie {S)}$ este operatorul de simetrizare. Această formă este o metrică (Finsler) în spații Berwald-Moor . Formulele (1)-(3) clarifică legătura dintre algebra polinumerică și spațiile Berwald-Moor: forma n metrică (3) este indusă de forma algebrică reală , care este un analog multidimensional al formei pătratice euclidiene pe plan complex $N(A)$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast ))$ .

Prin analogie cu forma biliniară complexă:

(\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )

unde , putem considera forma n -liniară $\zeta ,\xi \in \mathbb {C}$

(A,B,\dots,Z)={\text{Re}}(AB\dots Z)=\sum \limits _{\sigma (A,B,\dots,Z)}AB^{ (1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\dots },Z).\quad

(patru)

Aici însumarea se realizează peste setul tuturor permutărilor elementelor . Ultimul semn egal din (4) (se stabilește prin verificare directă) relevă și legătura genetică dintre algebrele polinumerelor și geometriile spațiilor Berwald-Moor corespunzătoare. $\sigma (A,B,{\dots },Z)$ $A,B,{\dots},Z\in P_{n)$

Algebra polinumerică descrisă mai sus poate fi arătată a fi suma directă a instanțelor algebrei numerelor reale . Dintre toate algebrele asociativ-comutative, este, într-un anumit sens, maxim simetrică (conține unități imaginare hiperbolice). O construcție mai generală va fi o algebră polinumerică , care este o sumă directă a instanțelor algebrei numerelor reale și a instanțelor algebrei numerelor complexe [1] . $P_{n}$ $n$ $\mathbb {R}$ $n$ $P_{n,m},$ $n$ $\mathbb {R}$ $m$ $\mathbb {C}$

Note

↑ G. I. Garasko, Fundamentele geometriei Finsler pentru fizicieni, M.: Tetru, 2009.

Literatură

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. numere hipercomplexe. M.: Nauka, 1973, p.138-140
M. A. Lavrentiev, B. O. Shabat. Probleme de hidrodinamică și modelele lor matematice. Moscova: Nauka, 1977.
G. I. Garasko. Fundamentele geometriei Finsler pentru fizicieni. M.: Tetra, 2009.
S. S. Kokarev . Prelegeri despre geometria Finsler și numere hipercomplexe. La sat. lucrări științifice ale RNEC „Logos”, vol. 5, Yaroslavl (2010), pp.19-121