Semilatice

O semiretelă ( ing. semilatice , termenul de semistructură a fost folosit și până în anii 1960 ) în algebra generală este un semigrup în care operația binară este comutativă și idempotentă .

Din punct de vedere al teoriei ordinii , o semiretelă poate fi definită ca o mulțime parțial ordonată , pentru fiecare pereche de elemente din care este definită cea mai bună limită superioară ( semilrețea superioară ) sau infimum ( semilrețea inferioară ). O mulțime care este atât o semi-zăbrele superioară, cât și una inferioară este o rețea .

Definiții algebrice

O semiretelă este axiomatizată ca o algebră echipată cu o operație binară cu următoarele identități: $\langle V,\star \rangle$

$x\stea x=x$ ( idempotenta );
$(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$ ( asociativitate );
$x\stea y=y\stea x$ ( comutativitate ).

Dacă algebrele și sunt semiredele, iar operațiile lor sunt legate prin relații (numite legi de absorbție ): $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$

$x\vee (x\wedge y)=x$ ,
$x\wedge (x\vee y)=x$ ,

atunci algebra este o rețea . În acest context , este numită semi-zăbrele superioară , iar cea inferioară . În semiretelele superioare se introduce un element superior astfel încât pentru toate elementele , în semiretelele inferioare , un element inferior astfel încât , semiretelele în care există astfel de elemente se numesc mărginite. $\langle V,\vee ,\wedge \rangle$ $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$ $\top \in V$ $\top \vee x=\top$ $x \în V$ $\bot \in V$ $\bot \wedge x=\bot$

Ordine parțială

O ordine parțială într-o semiretelă definită algebric poate fi introdusă astfel: dacă și numai dacă . Întrucât o operație binară într-o semirețea este idempotentă , comutativă și asociativă, ordinea definită în acest fel este reflexivă ( ), antisimetrică ( și tranzitivă ( ). $(V,\wedge )$ $x\sqsubseteq y$ $x\wedge y=x$ $x\sqsubseteq x$ $(x\sqsubseteq y)\Și (y\sqsubseteq x)\Rightarrow (x=y)$ $(x\sqsubseteq y)\Și (y\sqsubseteq z)\Rightarrow (x\sqsubseteq z)$

Note

Literatură

Saliy V. N., Skornyakov L. A. . Capitolul V. Grile // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Science , 1991. - T. 2. - S. 192-294. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Davey, B.A.; Priestley, H. A. Introducere în zăbrele și ordine . - al doilea. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-78451-4 .
Vickers, Steven Topologieprin logică . -Cambridge University Press, 1989. -ISBN 0-521-36062-5.

Link -uri

Pagina structurilor algebrei lui Jipsen: Semilretice.