Polarizare (algebră Lie)

Polarizarea în teoria reprezentării este subspațiul maxim complet izotrop al unei anumite forme biliniare oblice-simetrice pe algebra Lie . Conceptul de polarizare joacă un rol important în construirea reprezentărilor unitare ireductibile ale unor clase de grupuri Lie prin metoda orbitei , precum și în analiza armonică a grupurilor Lie și fizicii matematice .

Definiție

Fie un grup Lie, fie algebra lui Lie, fie spațiul dual al lui k . Prin notarea valorii funcționalei liniare ( covector ) pe vector . Se spune că o subalgebră a unei algebre este subordonată unui covector dacă condiția $G$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak g$ $\langle f,\,X\rangle$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ $X\in {\mathfrak {g)}$ ${\mathfrak {h)}$ $\mathfrak g$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$

\langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0\quad \forall \quad X,Y\in {\mathfrak {h)}

sau, mai pe scurt,

\langle f,\,[{\mathfrak {h)],\,{\mathfrak {h)}]\rangle =0

Fie, în continuare, grupul acționează asupra spațiului printr-o reprezentare coajoantă . Se notează prin orbita acestei acțiuni care trece prin punct și se notează algebra Lie a grupului stabilizator al punctului . O subalgebră subordonată funcționalei se numește polarizarea algebrei față de , sau, pe scurt, polarizarea covectorului , dacă are dimensiunea maximă posibilă și anume $G$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathrm {Anunț} ^{*}$ ${\mathcal {O}}_{f}$ $f$ ${\mathfrak {g}}^{f}$ $\mathrm {Stab} (f)$ $f$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ $f$ $\mathfrak{g}$ $f$ $f$

\dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^ {f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}

[1] [2] .

Starea lui Pukansky

Un rol important din punct de vedere istoric în dezvoltarea teoriei reprezentării l-a jucat următoarea condiție, găsită de L. Pukansky [3] .

Fie polarizarea corespunzătoare covectorului , fie anihilatorul acestuia, adică mulțimea tuturor funcționalelor a căror valoare este egală cu zero: . O polarizare se numește normală dacă este îndeplinită o condiție, care se numește condiția Pukansky : ${\mathfrak {h)}$ $f$ ${\mathfrak {h}}^{\perp }$ $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\mathfrak {h)}$ ${\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\ interval=0\}$ ${\mathfrak {h)}$

f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}

(unu)

L. Pukansky a arătat că condiția ( 1 ) garantează aplicabilitatea metodei orbitei de A. Kirillov , dezvoltată inițial pentru grupuri Lie nilpotente, de asemenea la o clasă mai largă de grupări rezolvabile [4] .

Proprietăți

O polarizare este un subspațiu maxim complet izotrop al unei forme biliniare pe o algebră Lie [1] [2] . $\langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle$ $\mathfrak{g}$
Polarizarea nu există pentru fiecare pereche [1] [2] . $({\mathfrak {g)),\,f)$
Dacă există o polarizare pentru funcțional, atunci există și pentru orice punct al orbitei , iar dacă este o polarizare pentru , atunci este o polarizare pentru . Astfel, existența polarizării este o proprietate a orbitei în ansamblu [1] . $f$ ${\mathcal {O}}_{f}$ ${\mathfrak {h)}$ $f$ $\mathrm {Anunț} _{g}{\mathfrak {h}}$ $\mathrm {Ad} _{g}^{*}f$
Dacă algebra Lie este complet rezolvabilă, atunci are o polarizare față de fiecare punct [2] . $\mathfrak{g}$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$
Dacă este o orbită în poziție generală , atunci în raport cu fiecare dintre punctele sale pentru orice algebră Lie există o polarizare și poate fi aleasă rezolvabilă [2] . $\mathcal{O}$
Dacă există o polarizare pentru orbită , atunci încorporarea poate fi realizată prin funcţii liniare în variabile , unde sunt coordonatele canonice pentru forma Kirillov pe orbită . [5] [6] . $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\i=1,...,\dim {\mathfrak {g)}$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $p$ $(q,\,p)$ $\mathcal{O}$

Note

↑ 1 2 3 4 A. A. Kirillov. Elemente de teoria reprezentării. - M. : Nauka, 1978. - 343 p.
↑ 1 2 3 4 5 J. Dixmier. Algebre de anvelopare universale. — M .: Mir, 1978. — 407 p.
↑ J. Dixmier, M. Duflo, A. Hajnal, R. Kadison, A. Korányi, J. Rosenberg și Michèle Vergne. Lajos Pukánszky (1928 - 1996) (engleză) // Notices of the American Mathematical Society. - 1998. - Aprilie ( vol. 45 , nr. 4 ). - P. 492 - 499 . — ISSN 1088-9477 .
↑ L. Pukanszky. Despre teoria grupurilor exponențiale (engleză) // Tranzacții ale Societății Americane de Matematică. - 1967. - Martie ( vol. 126 ). - P. 487 - 507 . - ISSN 1088-6850 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1967-0209403-7 .
↑ S. P. Baranovsky, I. V. Shirokov. Deformații ale câmpurilor vectoriale și ale coordonatelor canonice pe orbitele reprezentării coadjuvante // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - iulie - august ( vol. 50 , nr. 4 ). - S. 737 - 745 . — ISSN 0037-4474 . (Rusă)
↑ Do Ngoc Diep. Straturi cuantice ale orbitelor coadjuvante (engleză) // arXiv.org. - 2000. - Mai. - P. 1 - 27 . — ISSN 2331-8422 .