Secvență Beatty

În matematică , o secvență Beatty omogenă este o succesiune de numere întregi găsite prin luarea părții întregi („etaj”) a multiplilor pozitivi ai numerelor iraționale pozitive . Secvențele lui Beatty poartă numele lui Samuel Beatty , care a scris despre ele în 1926 . Secvențele Beatty pot fi, de asemenea, folosite pentru a genera cuvinte sturmiene .

Definiția secvenței Beatty

Secvența Beatty, a cărei bază este un număr irațional pozitiv , poate fi definită după cum urmează:

{\mathcal {B}}_{r}=\lfloor r\rfloor ,\lfloor 2r\rfloor ,\lfloor 3r\rfloor ,\ldots

Dacă atunci este și un număr irațional pozitiv. În acest caz, aceste două numere generează următoarea dependență: . $r>1\,,$ $s=r/(r-1)$ ${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1$

Cele două secvențe Beatty pe care le definesc, și anume,

{\mathcal {B}}_{r}=(\lfloor nr\rfloor )_{n\geq 1}

și

{\mathcal {B}}_{s}=(\lfloor ns\rfloor )_{n\geq 1}

formează o pereche de secvențe Beatty complementare . Aici cuvântul „complementar” înseamnă că fiecare număr întreg pozitiv aparține exact uneia dintre aceste două secvențe.

Exemple de secvențe Beatty

În cazul în care , unde este raportul de aur , avem . În acest caz, secvența devine secvența Wiethoff inferioară : $r=\varphi$ $\varphi$ $s=r+1$ ${\mathcal {B}}_{r}={\mathcal {\check {W}}}$

1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... secvența A000201 în OEIS .

Secvența complementară este secvența - secvența Wythoff superioară : ${\mathcal {B}}_{s}$ ${\widehat {\mathcal {W}}}$

2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... secvența A001950 în OEIS .

Pe de altă parte, pentru , avem . În acest caz, următoarele secvențe degenerează: $r={\sqrt {2}}$ $s=2+{\sqrt {2}}$

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... secvența OEIS A001951 și
3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... secvența A001952 în OEIS .

Pentru și secvențele $r=\pi$ $s={\cfrac {\pi }{\pi -1)}$

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... secvența OEIS A022844 și
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... secvența A054386 în OEIS .

Orice număr din prima secvență lipsește din a doua și invers.

Istorie

Secvența Beatty își ia numele de la o problemă pusă în American Mathematical Monthly de Samuel Beatty în 1926 [1] [2] . Aceasta este probabil una dintre cele mai frecvent citate probleme puse vreodată în acest jurnal. Cu toate acestea, chiar mai devreme, în 1894, astfel de secvențe au fost menționate pe scurt de John W. Strutt (al treilea baron Rayleigh) în a doua ediție a cărții sale The Theory of Sound . [3]

Teorema secvenței Beatty a lui Rayleigh (teorema lui Beatty)

Teorema lui Rayleigh , numită după Lord Rayleigh , afirmă că complementul unei secvențe Beatty constând din numere întregi pozitive care nu sunt în secvență este ea însăși o secvență Beatty generată de un alt număr irațional. [3]

Există întotdeauna , astfel încât secvențele să împartă mulțimea în mulțimi de numere naturale , astfel încât fiecare element al acestei mulțimi să aparțină exact uneia dintre cele două secvențe. $s>1$ ${\mathcal {B}}_{r},\ {\mathcal {B}}_{s}$ $\mathbb {Z} ^{+)$ ${\mathcal {N}}_{1}...{\mathcal {N}}_{i}$

Prima dovadă

Presupunând că lasă . Să demonstrăm că , unde operandul „|” este operandul " sau ". Vom face acest lucru luând în considerare pozițiile ordinale ocupate de toate fracțiile și , enumerate împreună în ordine nedescrescătoare pentru $r>1\,,$ $s=r/(r-1)$ $\forall x\in \mathbb {Z} ^{+}:x\ {\overset {!}{\in }}\ {\mathcal {B}}_{r|s}$ ${\frac {j}{r)}$ ${\frac {k}{s)}$ $j,k\in \mathbb {Z} ^{+)$

Pentru a vedea că două numere nu pot ocupa aceeași poziție (ca un număr), să presupunem că, dimpotrivă, , apoi fracții , dar, în același timp, , și această fracție nu aparține mulțimii numerelor întregi. Prin urmare, două numere nu ocupă aceeași poziție. $\exists j,k\in \mathbb {Z} ^{+}:{\frac {j}{r}}={\frac {k}{s}}$ ${\frac {r}{s}}={\frac {j}{k}}\in \mathbb {Z}$ ${\frac {r}{s}}=r(1-{\frac {1}{r}})=r-1$

Pentru orice fracție , există exact numere și exact numere , deci poziția fracției în tabloul original va fi . Ecuația devine următoarea: ${\frac {j}{r)}$ $j$ ${\frac {i}{r}}\leq {\frac {j}{r}}$ $\lfloor js/r\rfloor$ ${\frac {k}{s}}\leq {\frac {j}{r}}$ ${\frac {j}{r)}$ $j+\lfloor js/r\rfloor$ ${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1$

j+\lfloor js/r\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor .

La fel, poziția fracției în matrice va fi . $k/s$ $\lfloor kr\rfloor$

Concluzie: fiecare număr întreg pozitiv (adică fiecare poziție din listă) are forma sau , dar nu ambele în același timp. Este adevărat și invers: dacă , astfel încât fiecare număr întreg pozitiv să apară exact o dată în lista de mai sus, atunci . $\lfloor nr\rfloor$ $\lfloor ns\rfloor$ $p,q\in \mathbb {R}$ $p,q\in \mathbb {I} ;\ {\frac {1}{p))+{\frac {1}{q)}=1$

Generalizări

Dacă o schimbăm puțin, atunci teorema lui Rayleigh poate fi generalizată la numere reale pozitive (nu neapărat iraționale), precum și la numere întregi negative: dacă numerele reale pozitive satisfac și satisfac , secvențele și formează o împărțire a numerelor întregi. De exemplu, tastele albe și negre ale unei claviaturi de pian sunt distribuite ca astfel de secvențe pentru și . $r$ $s$ $1/r+1/s=1$ ${\displaystyle (\lfloor mr\rfloor )_{m\in \mathbb {Z} ))$ $(\lceil ns\rceil -1)_{n\in \mathbb {Z} )$ $r=12/7$ $s=12/5$

Teorema Lambek-Moser generalizează teorema lui Rayleigh și demonstrează că perechi mai generale de secvențe definite dintr-o funcție întreagă și funcția sa inversă au aceeași proprietate de împărțire a numerelor întregi.

Teorema lui Ouspensky afirmă că, dacă numerele reale pozitive, cum ar fi, conțin toate numerele întregi pozitive exact o dată, atunci nu există nici un echivalent al teoremei lui Rayleigh pentru trei sau mai multe secvențe Beatty. [4] [5] $\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n)$ $(\lfloor k\alpha _{i}\rfloor )_{k,i\geq 1)$ $n\leq 2.$

Referințe

↑ Beatty, Samuel;. Problema 3173 // American Mathematical Monthly : jurnal . - 1926. - Vol. 33 , nr. 3 . — P. 159 . - doi : 10.2307/2300153 .
↑ S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; AC Aitken. Solutions to Problem 3173 // American Mathematical Monthly : jurnal . - 1927. - Vol. 34 , nr. 3 . - P. 159-160 . - doi : 10.2307/2298716 . — .
↑ 1 2 John William Strutt, al treilea baron Rayleigh . Teoria sunetului . - Al doilea. - Macmillan, 1894. - T. 1. - S. 123.
↑ JV Uspensky, Despre o problemă care decurge din teoria unui anumit joc, Amer. Matematică. Lunar 34 (1927), pp. 516–521.
↑ R.L. Graham, Despre o teoremă a lui Uspensky , Amer. Matematică. Lunar 70 (1963), pp. 407–409.

Lectură suplimentară

Holshouser, Arthur; Reiter, Harold. O generalizare a teoremei lui Beatty // Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2001. - T. 2 . - S. 24-29 . Arhivat din original pe 19 aprilie 2014.
Stolarsky, Kenneth. Secvențe Beatty, fracții continuate și anumiți operatori de schimbare // Canadian Mathematical Bulletin : jurnal. - 1976. - Vol. 19 , nr. 4 . - P. 473-482 . - doi : 10.4153/CMB-1976-071-6 .

Link -uri

Weisstein, Eric W. Beatty Sequence (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Alexander Bogomolny, Secvențe Beatty , Cut-the-knot