Secvența Luca

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 octombrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

În matematică , secvențele Lucas sunt o familie de perechi de secvențe recurente liniare de ordinul doi , luate în considerare pentru prima dată de Edouard Luca .

Secvențele Lucas sunt perechi de secvențe și , satisfacând aceeași relație de recurență cu coeficienții P și Q : $\{U_{n}(P,Q)\}$ $\{V_{n}(P,Q)\}$

U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0

V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0

Exemple

Unele secvențe Luke au propriile lor nume:

$\{U_{n}(1,-1)\}$ - numerele Fibonacci
$\{V_{n}(1,-1)\}$ — Numerele lui Lucas
$\{U_{n}(2,-1)\}$ — Numerele de pelel
$\{V_{n}(2,-1)\}$ - Numerele Pell-Luc
$\{U_{n}(3,2)\}$ - Numerele Mersenne
$\{V_{2^{n}}(3,2)\}$ — Numerele Fermat
$\{U_{n}(1,-2)\}$ sunt numerele Jacobstahl
$\{U_{n}(2x,1)\}$ — Polinoame Chebyshev de al doilea fel
$\{V_{n}(2x,1)\)$ — Polinoame Cebyshev de primul fel înmulțite cu 2

Formule explicite

Polinomul caracteristic al secvențelor Lucas este : $\{U_{n}(P,Q)\}$ $\{V_{n}(P,Q)\}$

x^{2}-P\cdot x+Q.

Se presupune că discriminantul său este diferit de zero. Rădăcinile polinomului caracteristic $D=P^{2}-4Q$

\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}

și

\beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}

poate fi folosit pentru a obține formule explicite:

U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n)}{\alpha -\beta ))={\frac {\alpha ^{n} -\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}

și

V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.

Formulele Vieta pot fi exprimate și sub forma: $P$ $Q$

P=\alpha +\beta ,

Q=\alpha \cdot \beta .

Caz degenerat

Discriminantul dispare pentru un anumit număr . În acest caz, și respectiv: $D$ $P=2S,Q=S^{2}$ $S$ $\alpha =\beta =S$

U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},

V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.

Proprietăți

{\displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n))

{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n))

U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_ {n}}{2}}

V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{nm)

U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P }}

V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}

U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}

Link -uri

V. P. Palamodov. Pe polinoame care formează o succesiune recurentă de ordinul al II-lea // Educație matematică . A doua serie. - 1957. - Emisiune. 1 . — S. 139-147 .
Grant Arakelyan . Matematica și istoria raportului de aur . — M.: Logos, 2014, 404 p. - ISBN 978-5-98704-663-0.