Regula lui Runge

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 mai 2019; verificările necesită 12 modificări .

Regula lui Runge - o regulă pentru estimarea erorii metodelor numerice , a fost propusă de K. Runge la începutul secolului al XX-lea. [unu]

Ideea principală (pentru metodele Runge-Kutta de rezolvare a EDO ) este de a calcula aproximarea prin metoda aleasă cu pasul h, apoi cu pasul h/2 și să luăm în considerare diferențele de eroare pentru aceste două calcule.

Aplicarea regulii lui Runge

Estimarea acurateței calculării unei integrale definite

Integrala se calculează folosind formula aleasă (dreptunghiuri, trapeze, parabole lui Simpson) cu numărul de pași egal cu n, iar apoi cu numărul de pași egal cu 2n. Eroarea în calcularea valorii integralei cu numărul de pași egal cu 2n este determinată de formula Runge: , pentru formulele dreptunghiurilor și trapezelor , și pentru formula Simpson . [2]
$\Delta _{{2n}}\aprox \Theta |I_{{2n}}-I_{{n}}|$ $\Theta ={\frac {1}{3}}$ $\Theta ={\frac {1}{15}}$

Astfel, integrala este calculată pentru valori succesive ale numărului de pași , unde este numărul inițial de pași. Procesul de calcul se termină când următoarea valoare a lui N satisface condiția , unde este precizia specificată. $N=n_{0},2n_{0},4n_{0},\dots$ $n_{0}$ $\Delta _{2n}<\varepsilon$ $\varepsilon$

Estimarea acurateței soluției numerice a EDO

De asemenea, este folosit pentru a estima acuratețea soluțiilor ecuațiilor diferențiale obișnuite pe grile obișnuite. Pentru estimare se cere rezolvarea problemei pe 2 grile, o data cu pasul h ( ) si a doua cu pasul h/2 ( ). Formula [3] $y_{{i,h}}$ $y_{{i,h/2}}$

${|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} \over {2^{p}-1}$

da eroarea solutiei . Prin se înțelege ordinea de precizie a metodei numerice utilizate. De exemplu, pentru o metodă numerică care are al patrulea ordin de precizie, formula ia forma: $y_{{i,h/2}}$ $p$

${1 \over 15}|y_{{i,h}}-y_{{i,h/2}}|$

Note

↑ Ivan P. Gavrilyuk, „2.4 Estimarea erorii a posteriori și generarea automată a rețelei”. // Scheme de diferențe exacte și trunchiate pentru ODE cu valori la limită, Springer, 2011, ISBN 9783034801072 , paginile 76-77: „Prima posibilitate este tehnica clasică care a fost propusă de Carl Runge”.
↑ Ogorodnikov A. S., Orlov O. V., 6. Regula lui Runge pentru estimarea erorii de integrare Copie de arhivă din 14 septembrie 2013 la Wayback Machine // Lucrări de laborator Nr. 4. Integrare numerică, Atelier de laborator la cursul „Metode numerice” (ENIN) Arhivat 8 decembrie 2015 la Wayback Machine , Universitatea Politehnică din Tomsk
↑ P. V. Vinogradova, A. G. Ereklintsev, 8. NUMERICAL SOLUTION OF ORDINARY FIRST ORDER DIFERENTIAL EQUATIONS Arhivat 14 septembrie 2013 la Wayback Machine // NUMERICAL METHODS Arhivat 4 martie 2016 la Far Eastern State Machine Transportation 1, Far Eastern State Machine 20 Transportation

Literatură

RUNGE RULE // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Berezin I. S., Zhidkov N. P. , Computational Methods, ed. a 3-a, vol. 1, M., 1966; Ed. a II-a, vol. 2, M., 1962;
Metode numerice moderne de rezolvare a ecuațiilor diferențiale ordinare, trans. din engleză, M., 1979. A. B. Ivanov.

Link -uri

Osokin AE, 4.7 Regula lui Runge pentru estimarea erorilor. extrapolare Richardson. Copie de arhivă din 24 mai 2013 pe Wayback Machine // INTRODUCERE ÎN METODELE NUMERICE DE ANALIZĂ ȘI ALGEBRA LINEARĂ Copie de arhivă din 1 ianuarie 2013 pe Wayback Machine , Universitatea de Stat Gorno-Altai, 2002