Transformarea Landen

Transformarea Landen aparține integralelor eliptice . Este logic să vorbim despre transformarea Landen într-un sens restrâns și în sens larg. În sens restrâns, despre care vom discuta mai jos, matematicianul britanic John Landen(1719-1790) în 1775 a propus [1] o schimbare foarte reușită a variabilei în integrala nedefinită care determină valoarea integralei eliptice incomplete de primul fel

F(\varphi,x_{1})=F(\varphi \,|\,x_{1}^{2})=F(\sin \varphi;x_{1})=\int _{ 0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x_{1}^{2}\sin ^{2}\theta }}},

adică în funcţia antiderivată

\int {\frac {d\theta }{\sqrt {1-x_{1}^{2}\sin ^{2}\theta }}}.

Modificarea variabilei propusă de Landen este descrisă prin următoarea formulă:

\operatorname {tg} \theta ={\frac {\sin {2}\varphi {x_{1}+\cos {2}\varphi )).

Ca urmare a unei astfel de modificări de variabilă, integrala nedefinită se transformă în următoarea:

\left(1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2 }\varphi}}}.

Parametrii x și x 1 sunt dependenți:

x={\frac {{2}{\sqrt {x_{1}})) {x_{1}+1)),

x_{1}={\frac {{2}\left(1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{x^{2}}}-1.

Astfel, ca urmare a substituției Landen, integrala nedefinită este transformată într-o integrală nedefinită de aceeași formă, dar cu un parametru diferit și înmulțită cu un anumit coeficient în funcție de noul parametru. Odată cu aplicarea succesivă a transformării, parametrul x tinde la 1, parametrul x 1 la 0. Pentru aceste valori extreme ale parametrului, valorile integralelor nedefinite sunt evidente:

\int {\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\ sin \theta }{1-\sin \theta }},

\int {d}\theta =\theta .

Integrale eliptice sunt adesea reprezentate în funcție de un număr de argumente diferite. Aceste argumente diferite sunt complet echivalente (dau aceleași integrale), dar pot apărea confuzii din cauza originilor lor diferite. În formulele de mai sus, am folosit așa-numitele. modulul integralei eliptice x ( x 1 ). Acest modul este legat de unghiul modular și de parametrul integralei eliptice prin formule

\alfa

- unghi modular;

x=\sin \alpha

este modulul integralei eliptice;

m=x^{2}=\sin ^{2}\alpha

este parametrul integralei eliptice.

Este ușor de observat că formulele care raportează valorile lui x și x 1 și unghiurile φ și θ , pentru cazul în care iterațiile încep de la parametrii x 1 și θ , pot fi reprezentate astfel:

(1+\sin \alpha _{n})(1+\cos \alpha _{n+1})=2,

\sin \alpha _{n+1}=x,

\sin \alpha _{n}=x_{1},

\varphi _{n}=\theta,

\varphi _{n+1}=\varphi ,

\operatorname {tg} (\varphi _{n+1}-\varphi _{n})=\cos \alpha _{n}\operatorname {tg} \varphi _{n}.

Dacă iterațiile încep cu parametrii x și φ , atunci formulele arată astfel:

(1+\sin \alpha _{n+1})(1+\cos \alpha _{n})=2,

\sin \alpha _{n+1}=x_{1},

\sin \alpha _{n}=x,

\varphi _{n}=\varphi ,

\varphi _{n+1}=\theta,

\sin({2}\varphi _{n+1}-\varphi _{n})=\sin \alpha _{n}\sin \varphi _{n}.

Este necesar să se sublinieze o anumită trăsătură a schimbării de variabilă propusă de Landen, adică trecerea variabilei independente de la θ la φ . Când unghiul φ se schimbă de la 0 la π /2, unghiul θ suferă o discontinuitate. Această împrejurare trebuie luată în considerare în implementarea numerică a formulei Landen.

Într-un sens larg, Landen a descoperit un nou mod de calcul, și nu numai funcții eliptice. Ideea sa principală, care este că o funcție calculată poate fi reprezentată ca același tip de funcție, dar cu parametri diferiți, care tind la anumite limite în timpul recursiei, a fost ulterior utilizată pe scară largă în matematica computațională. Să subliniem că, alături de cea indicată de Landen și formula de mai sus pentru modificarea variabilei de integrare, există și altele, de exemplu, aceasta:

\operatorname {tg} \theta ={(1-x_{1}^{2})}^{-1/4}{\frac {{1}+\sin \varphi }{\cos \varphi }}.

Ca urmare a unei astfel de modificări de variabilă, integrala nedefinită se transformă în următoarea:

{\frac {1+x}{2}}\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\varphi }}}.

Parametrii x și x1 sunt legați prin dependențe:

x={\frac {{2}(1-{\sqrt {(1-x_{1}^{2})}}}{x_{1}^{2}}}-1,

x_{1}={\frac {{2}{\sqrt {x}}}{x+1}}.

Note

↑ Landen, J. XXVI. O investigație a unei teoreme generale pentru găsirea lungimii oricărui arc a oricărei hiperbole conice, prin intermediul a două arce eliptice, cu alte teoreme noi și utile deduse din acestea // Tranzacții filosofice ale Societății Regale din Londra. - 1775. - Vol. 65 . - P. 283-289 . — ISSN 0261-0523 . - doi : 10.1098/rstl.1775.0028 .

Link -uri

King LV Despre calculul numeric direct al funcțiilor eliptice și al integralelor . — Cambridge University Press, 1924.
Cayley A. Un tratat elementar despre funcţiile eliptice . - G. Bell and Sons, 1895.
Almkvist G. , Berndt B. Gauss, Landen, Ramanujan, media aritmetică-geometrică, elipse, π și jurnalul doamnelor // The American Mathematical Monthly. - 1988. - Vol. 95 , nr. 7 . - P. 585-608 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.1080/00029890.1988.11972055 .
Milne-Thomson L. Ch. 17. Integrale eliptice // Manual de funcții speciale cu formule, grafice și tabele, Ed. M. Abramowitz și I. Steegan; pe. din engleza. ed. V. A. Ditkin și L. N. Karamzina. - M . : Nauka, 1979. - S. 401-441. — 832 p. — 50.000 de exemplare.
Korn G., Korn T. // Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri. Moscova: Nauka, 1977.
Sikorsky Yu. S. Elemente ale teoriei funcțiilor eliptice: cu o aplicație la mecanică. - Ed. al 2-lea, rev. - M . : Kom Book, 2006. - 368 p.