Polinom primitiv (algebră)

În algebră, un polinom primitiv este orice polinom , unde este un inel asociativ-comutativ , cu o factorizare cu o singură valoare, ai cărui coeficienți nu au divizori comuni netriviali. $f(x)\în R[x]$ $R$

Orice polinom poate fi scris ca , unde este un polinom primitiv și a este cel mai mare divizor comun al coeficienților polinomului . Elementul , este definit până la înmulțirea cu elemente inversabile din R, se numește conținutul polinomului . $g(x)\în R[x]$ $g(x)=c_{g}\cdot f(x)$ $f(x)$ $c_{g}$ $g(x)$ $c_{g}\în R$ $g(x)$

Lema lui Gauss

Dacă , atunci . În special, produsul polinoamelor primitive este din nou primitiv. $g_{1}(x),g_{2}(x)\în R[x]$ $c_{{g_{1}g_{2}}}=c_{{g_{1}}}c_{{g_{2}}}$

Dovada

Mai întâi demonstrăm că produsul polinoamelor primitive este un polinom primitiv. Pentru a face acest lucru, este suficient să verificați că, dacă un element simplu al inelului împarte toți coeficienții polinomului , atunci este un divizor comun al tuturor coeficienților polinomului sau un divizor comun al tuturor coeficienților polinomului . Fie , , gradele acestor polinoame. Să facem o inductie pe . Dacă , atunci și , . Dacă divide , atunci deoarece inelul este factorial, divide sau divide , adică în acest caz afirmația este adevărată. În cazul general . Să presupunem că un element simplu al inelului împarte toți coeficienții polinomului . Deoarece inelul este și factorial, atunci sau . Lăsați pentru certitudine . Dacă , atunci împarte toți coeficienții polinomului . Dacă , atunci rețineți că va fi și un divizor comun al tuturor coeficienților polinomului , unde . Într-adevăr, toți coeficienții polinomului sunt divizibili cu , și, prin urmare, cu . Împarte toți coeficienții unui polinom , sau toți coeficienții unui polinom , la ipoteza inductivă . În primul caz, se împarte și toți coeficienții polinomului . Prin principiul inducției matematice, afirmația este dovedită pentru toate valorile și $p$ $R$ $f(x)g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n)$ $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m)$ $n=\operatorname {grade} f,m=\operatorname {grade} g$ $m+n$ $m+n=0$ $m=0$ $n=0$ $f(x)=a_{0},g(x)=b_{0)$ $p$ $a_{0}b_{0}$ $R$ $p$ $a_{0}$ $p$ $b_{0}$ $f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +a_{n}b_{ m}x^{n+m}$ $p$ $R$ $f(x)g(x)$ $p\mid a_{n}b_{m)$ $R$ $p\mid a_{n)$ $p\mid b_{m)$ $p\mid a_{n)$ $n=0$ $p$ $f(x)$ $n>0$ $p$ $f_{1}(x)g(x)$ $f_{1}(x)=f(x)-a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n-1}x^{n- unu}$ $f(x)g(x)-f_{1}(x)g(x)=a_{n}x^{n}g(x)$ $un$ $p$ $p$ $f_1(x)$ $g(x)$ $p$ $f(x)=f_{1}(x)+a_{n}x^{n}$ $m$ $n$

Să demonstrăm că . Fie , , unde , polinoame primitive. Apoi . Deoarece polinomul este primitiv de dovedit, atunci . Lema este dovedită. $c_{f}c_{f}=c_{fg)$ $f=c_{f}f_{0)$ $g=c_{g}g_{0)$ $f_0$ $g_{0}$ $fg=c_{f}c_{g}f_{0}g_{0)$ $f_{0}g_{0)$ $c_{fg}=c_{f}c_{g)$

Literatură

Zarissky O., Samuel P., Algebra comutativă, trad. din engleză, vol. 1, M.